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Gleichmäßig stetige Funktion. Beschränkt?

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Tags: Beschränkt, Beschränktheit, Funktion, gleichmäßig stetig, gleichmäßig stetigkeit, Grenzwert, Stetigkeit

 
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rndmathstudent

rndmathstudent

19:21 Uhr, 16.04.2018

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Ich habe eine Funktion f:(0,1)→ℝ, die gleichmäßig stetig ist. Zeigen soll ich, dass diese beschränkt sein muss.

Wäre sie nicht beschränkt, könnte sie ja nicht gleichmäßig stetig sein, da sie immer stärker steigt/fällt. Leider weiß ich nicht, wie ich das zu einem formal korrekten Beweis formuiliere.

Ich bin euch sehr dankbar für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:01 Uhr, 16.04.2018

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Nutze ε-δ Definition und zerlege dann (0,1) in Intervalle der Länge ≤δ.
rndmathstudent

rndmathstudent

10:02 Uhr, 20.04.2018

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Könntest du das etwas weiter ausführen?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:14 Uhr, 20.04.2018

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Sei ε=1 (der konkrete Wert ist in dieser Aufgabe egal).
Nach Definition existiert ein δ, so dass für alle x,y aus (0,1) aus ∣x-y∣<δ folgt ∣f(x)-f(y)∣<ε=1.
Wählen jetzt eine Zerlegung 0=x1<x2<...<xm=1 des Intervalls [0,1] so, dass ∣xk-xk-1∣<δ für alle k.
Sei jetzt C:=1+maxk∣f(xk)∣.
Dann gilt für jedes x aus (0,1):
∣f(x)∣≤∣f(x)-f(xk0)∣+∣f(xk0)∣<1+maxk∣f(xk)∣=C, wenn k0 so gewählt ist, dass x∈(xk0,xk0+1).
(Falls x=xk für ein k, so bleibt die Abschätzung ∣f(x)∣<1+maxk∣f(xk)∣ trivialerweise gültig).
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