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Grenzwert gebrochen rationaler Funktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Grenzwert, lim

Aviatiks aktiv_icon

22:37 Uhr, 01.12.2018

Hallo, habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung:

Gesucht ist der Grenzwert

lim

x—> 2 bei der Funktion:

\frac{- x^{2} - 3 \cdot x + 10}{2 \cdot x^{2} + x - 10}

diese Funktion habe ich in die LFD gebracht:

\frac{- (x - 2) \cdot (x + 5)}{(x - 2) \cdot (x + 2,5)}

Gekürzt ergibt sich also:

- \frac{x + 5}{x + 2,5}

Für den Grenzwert komme ich also auf

- \frac{7}{4,5}

Der Grenzwert ist laut Lösung aber

- \frac{7}{9}

Anscheinen habe ich also irgenwas im Nenner falsch gemacht, sehe aber leider nicht wo.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Optimal aktiv_icon

22:52 Uhr, 01.12.2018

Guten Abend,

\frac{- x^{2} - 3 x + 10}{2 x^{2} + x - 10} = \frac{- x^{2} (1 - \frac{3}{- x} + \frac{10}{- x^{2}})}{2 x^{2} (1 + \frac{1}{2 x} + \frac{5}{x^{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x^{2}} = - \frac{1}{2} = - 0, 5

(Sry, dachte der Grenzwert von

x - > \infty

)

MfG

Aviatiks aktiv_icon

23:05 Uhr, 01.12.2018

Hallo Optimal,

Erstmal danke für die schnelle Antwort,

Das Ergebnis soll laut Lösung aber

- \frac{7}{9}

lauten.

Leider weiß ich nicht die Zustande kommen.

LG

rundblick aktiv_icon

23:14 Uhr, 01.12.2018

.
"Leider weiß ich nicht die Zustande kommen."

schau dir deine Rechnung dazu nochmal an

\to

"diese Funktion habe ich in die LFD gebracht:.."

Tipp: rechne mal deinen gefundenen Nenner wieder aus

\to

(x-2)⋅(x+2,5)

= . .

.
und vergleiche mit dem Nenner der Aufgabe

alles klar ?

.

Aviatiks aktiv_icon

23:45 Uhr, 01.12.2018

Das

m a l

2 habe ich also vergessen, danke!

Das heißt, ich muss, da ich vor Anwendung der pq-Formel durch 2 geteilt habe, die 2 am Ende wieder hinzu multiplizieren? Würde ja irgendwo Sinn machen :-D)

Habe es auch durch ausklammern von

x^{2}

versucht, komme da allerdings auf ein ganz anderes Ergebnis:

\frac{X^{2} (- 1 - \frac{3}{x} + \frac{10}{x^{2}})}{x^{2} (2 + \frac{1}{x} - \frac{10}{x^{2}})}

wenn ich hier das

x^{2}

wegkürze und 2 einsetze, komme ich auf

\frac{0}{0}

also 0.

Wäre super wenn ich noch erfahren könnte wo hier der Fehler liegt.

LG

Aviatiks aktiv_icon

00:00 Uhr, 02.12.2018

Oder klammert man nur aus wenn man das Verhalten im positiv/negativ Unendlichem betrachten will?

LG

rundblick aktiv_icon

00:10 Uhr, 02.12.2018

.
" komme da allerdings auf ein ganz anderes Ergebnis: "

witzig

- \frac{0}{0} -

diesen "unbestimmten Ausdruck" bekommst du mühelos ja auch schon,
wenn du

x = 2

gleich da einsetzt

\to \frac{- x^{2} - 3 x + 10}{2 x^{2} + x - 10}

und was du in einem solchen

\frac{0}{0} -

Fall machen sollst, um vielleicht herauszufinden, ob ein
echter Grenzwert überhaupt existiert, hat man dir ( nach deiner Startlösung zu
vermuten) ja irgendwann schon mal gesagt ? ..

.

Aviatiks aktiv_icon

02:44 Uhr, 02.12.2018

Also so wie ich es verstanden habe klammere ich bei gebrochen rationalen Funtionen die höchste Potenz aus dem Nenner aus, kürze diese weg, und bestimme dann mit dem „Rest“ für

x

—>

\pm

unendlich das Verhalten im positiv negativ unendlichen.

Wenn ich eine mögliche Lücke habe sprich

N (x 0)

und

Z (x 0) = 0,

dann bringe ich Zähler und Nenner zuerst in die LFD, kürze dann und entscheide dann ob eine Polstelle oder Lücke vorliegt. Falls eine Polstelle vorliegt kommt nach Einsetzten der Nullstelle 0 raus ansonsten irgendetwas ungleich 0.

Nach dem Kürzen hätte man

- \frac{x + 5}{2 x + 5}

sprich wenn ich die Nullstelle 2 einsetze, stelle ich fest, es kommt nicht 0 raus —> Lücke. Um nun Grenzwert an der Lücke zu bestimmen setze ich x—>2 ein. Bei der Polstelle

x = - 2,5

bestimme ich den Grenzwert indem ich mir den Grad der gekürtzten Nennerfunktion anschaue, hier wäre es ein Grad erster Ordnung, dh. es findet ein VZ-Wechsel statt und somit geht der Grenzwert ins positiv/negativ Unendliche.

So habe ich es insgesamt verstanden, hoffe es ist so richtig, falls nicht, korrigiert mich bitte.

LG

rundblick aktiv_icon

13:00 Uhr, 02.12.2018

.
"hoffe es ist so richtig, falls nicht, korrigiert mich bitte."

\to

das wird ja mühsam, denn es ist leider so gut wie NICHTS richtig

1)

" klammere ich bei gebrochen rationalen Funtionen die höchste Potenz aus dem Nenner aus,
kürze diese weg,"

WAU! .............gegen wen oder was willst du weg-kürzen ?

\to

also: du wirst bei der Untersuchung von

f (x)

"für

x

—> ± unendlich"

\to

zuerst hinschauen und die drei Fälle unterscheiden

\to

a .

. Grad des Zählers

>

Grad des Nenners

b .

. Grad des Nenners

>

Grad des Zählers

c .

. Grad des Zählers = Grad des Nenners

\to

für jeden dieser drei Fälle kannst du dann sofort eine jeweils immer gültige
Aussage zu

lim_{x \to \infty} f (x) = . .

. machen:

... ... ... ... ... ... ... .

. WELCHE ?

\to

..bei

a \to

..bei

b \to

..bei

c \to .

.

mach das erstmal soweit ..
wenn das dann passt, dann kann man vielleicht versuchen, die nächsten abstrusen
Vorstellungen (zu Pol und Lücke usw) geradezubiegen..

-

Aviatiks aktiv_icon

17:57 Uhr, 02.12.2018

Hallo rundblick,

Das man gewisse Verläufe von Funktionen auch anhand der äußeren Form bestimmen kann stimmt, daran hatte ich nicht gedacht.

Also falls wie von dir beschrieben gilt:

A) 1) Z > N

—> im Fall

Z = N + 1

—> schiefe Asymptote (bestimmbar durch Polynomdivision)

2) Z > N

—> im Fall

Z > N + 1

—> asymptotische Kurve (bestimmbar durch Polynomdivision)

B) Z < N

—> waagerechte Asymptote, nämlich die x-Achse.

C) Z = N

—> waagerechte Asymptote (bestimmbar durch Polynomdivision oder indem ich den Vorfaktor der höchsten Potenz im Zähler, durch den des Nenners teile)

Kann ich allein durch den Verlauf der obigen Asymptoten auf den Grenzwert schließen (also Verhalten im

\pm

Unendlichen)?
Oder betrachte ich nur den größten Zähler bzw. Nennergrad und gucke dann ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, je nachdem ob ich ein positives oder negatives

x

eingesetzt habe und je nachdem ob

Z

bzw.

N

gerade/ungerade, positiv oder negativ sind?

Das ist mir noch etwas unklar. LG

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