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Grenzwert von Wurzelfunktion

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Wurzel

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Noel93

Noel93 aktiv_icon

23:16 Uhr, 28.11.2013

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Guten Abend!
Ich verzweifle gerade an folgender Aufgabe:

lim n \to

unendlich:

\sqrt{2 n^{2} + n} - n + 1

Ich habe einfach keinen vernünftigen Ansatz gefunden. Man kann innerhalb der Wurzel

n

ausklammern und die Wurzel dann aufteilen zu

\sqrt{n} \cdot \sqrt{2 n + 1} - n + 1

aber das bringt mich auch nicht weiter. Auch die Wurzel als Potenz

\frac{1}{2}

schreiben macht nicht viel. Hat irgendjemand einen netten kleinen Ansatz?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

anonymous

anonymous

23:28 Uhr, 28.11.2013

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Bei solchen Grenzwerten mit Wurzeln hilft es oft entsprechend der Binomischen Formel

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

zu erweitern. In diesem Fall also:

\sqrt{2 n^{2} + n} - n + 1 = \frac{(\sqrt{2 n^{2} + n} - n + 1) \cdot (\sqrt{2 n^{2} + n} + n - 1)}{\sqrt{2 n^{2} + n} + n - 1}

Schau mal, ob du mit diesem Ansatz nun selbst weiter kommst.

Frage beantwortet

Noel93

Noel93 aktiv_icon

23:34 Uhr, 28.11.2013

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Danke, aber ich habe, glaube ich, soeben eine einfachere Lösung gefunden.
Ich hab einfach in der Wurzel

n^{2}

ausgeklammert und in ne eigene Wurzel gezogen.
Dann hat man:

n \cdot \sqrt{2 + \frac{1}{n}} - n + 1

Und wenn man da auch noch

n

ausklammert

n \cdot (\sqrt{2 + \frac{1}{n}} - 1 + \frac{1}{n})

Dann kann man es gegen unendlich laufen lassen, wodurch dann
unendlich

\cdot (\sqrt{2} - 1)

rauskommt, was relativ eindeutig unendlich ergibt.

Danke trotzdem und noch nen schönen Abend! :-)

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