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Grenzwerte Stetigkeit mit der h-Methode

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Grenzwert

Tags: Funktion, Grenzwert, h-methode, Prüfen, Stetigkeit

Lilith

17:30 Uhr, 15.09.2010

Hallo!

So, wir haben am Ende der

11

. frisch das Thema Grenzwerte bekommen.
Leider war ich in genau dieser Woche im KH und hab so nix mitgekriegt... aus meiner Klasse kapiert niemand das Thema und der Lehrer ist sowieso... naja...

Nun gab er uns - ohne es vorher nochmal durch zusprechen - folgende Hausaufgabe auf:

Grenzwerte Stetigkeit

A 1 :

Prüfen Sie mit der h-methode nach, ob die Funktion

f

an der Stelle

x_{0} = 3

stetig ist:

f (x) = {\frac{1}{3} x + 1

für

x \in] - \infty; 3 [

2 für

x \in [3; \infty [

ähm die beiden zeilen sollen hinter einer großen

{

stehen, aber ich weiß nicht, wie man das hier darstellt...

Ja... ich habe versucht hier im Forum schlau zu werden, aber ich komme nicht weiter.
Ich tue mich sowieso schwer in Mathe...
Ich habe nur herausgefunden, dass es bei der h-Methode eine linke und eine rechte Seite zu bestimmen gibt?

Aber das wars auch schon...

: (

Ich verstehe gar nichts von dem Thema und vielleicht mag sich jemand erbarmen, mir auf die Sprünge zu helfen...

: (

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Dornathal aktiv_icon

21:36 Uhr, 15.09.2010

Stetigkeit an der Stelle

x_{0}

bedeutet, dass der Graph an dieser Stelle keinen "Sprung" macht.
In der Zeichnung macht der Graph an der Stelle x=3 einen Sprung, ist also nicht stetig.

Ich nehme mal an, dass du dich verschrieben hast und der Graph gleich der Funktion

f (x) = \frac{1}{3} x + 1

für

x \in] - \infty; 3 [

i s t .

Das ist ein offenes Intervall. Das bedeutet der Graph ist nicht an der Stelle 3 definiert, zumindest nicht nach dieser Funktion. Allerdings ist der für alle

x \in ℝ, x < 3

definiert. Also z.B. für

x = 2, \bar{9}

Um die Stetigkeit nun nachzuweisen müssen wir den linken bzw. rechten Grenzwert an der Stelle x=3 bestimmen, ist er identisch, so ist die Funktion an dieser Stelle stetig.

Stell dir einfach vor, ein Auto fährt von rechts nach links über den Graphen und kommt immer näher an die Stelle 3. Nun schaut es auf sein GPS-Gerät um die Höhe zu bestimmen (y-Wert der Funktion). Je näher das Auto an die Stelle 3 kommt umso besser kann es abschätzen wie hoch es stehen wird, wenn es an der Stelle 3 ist.

Zurück zu unserer Funktion. Der rechte Grenzwert von

f (x), x \geq 3

. Das Auto startet bei x=5. Höhe:2, kommt bei x=4 vorbei Höhe:2 Bei x=3,5 >> Höhe immer noch 2 Bei x=3,1 immer noch 2... u.s.w
Der Fahrer vermutet dann also, dass bei x=3 das Auto die Höhe 3 hat.

Mathematisch aufgeschrieben sieht dass dann so aus:

r - lim_{h \to 0} f (x) = r - l i m_{h \to 0} 2 = 2

Muss man im Grunde nicht machen da der y-Wert für die Stelle eindeutig als 2 definiert ist, der rechtsseitige Wert zumindest.

Nun aber zum linken Grenzwert.

l - lim_{h \to 0} f (x) = l - l i m_{h \to 0} \frac{1}{3} (x + h) + 1 = ?

Stell dir das wieder vor mit dem auto was von links kommt, setz also für h Werte ein die ein kleines bisschen kleiner sind als 0 und gegen 0 gehen.

Der Autofahrer denkt wieder dass er bei 3 auf der Höhe 2 stehen wird.

l - lim_{h \to 0} f (x) = l - l i m_{h \to 30} \frac{1}{3} (x + h) + 1 = 1 + 1 = 2

Die Grenzwerte stimmen demnach überein, somit ist die Funktion an der Stelle stetig.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Lilith

15:05 Uhr, 16.09.2010

Hallo und vielen dank für deine antwort!
Ja, ich hatte mich verschrieben, in das Intervall soll natürlich eine 3 statt der 2 :-D)
Ich bessere es gleich noch aus.

aber ansonsten steht da schon noch 2 für

x \in [3; \infty [

falls du eher das meintest... diese Zeile noch zusätzlich zu dem

\frac{1}{3} x + 1

für

x \in] - \infty; 3 [

innerhalb der

{

So, ich versuche gerade, mir dem ganzen klar zu werden.
Ist ein wenig schwer, aber ich glaube, allmählich kann ich folgen.
Zumindest am Anfang.

"Das Auto startet bei

x = 5

. Höhe:2" - Du hast also einfach willkürlich mal 5 ausgewählt? Ich hätte auch bei 6 anfangen können oder? Und dann einfach näher an 3 herangehen mit den Zahlen?

"Der Fahrer vermutet dann also, dass bei

x = 3

das Auto die Höhe 3 hat." - Du meinst die Höhe 2 oder? :-)

Okaaaay... das hab ich bis dahin verstanden.
Dann wird es allerdings wieder chaotisch.

Ich kapiere das mit dem

h

überhaupt nicht, tue mich ja schon beim Limes schwer

: (

Okay mal langsam... angefangen mit der rechten Seite.
Also du schreibst:

der rechte:

lim_{h \to 0} f (x) = lim_{h \to 0} 2 = 2

Also ich probiere vorher quasi durch, ein paar Zahlen über der gesuchten, in dem Fall über 3. (am besten mit einer Wertetabelle?)
im Intervall ist 3 ja noch dabei und wenn man 3 einsetzt kommt genau 2 raus. Und diese Zahl muss ich dann bei der Lösung nehmen oder? Weil das eben die "Grenze" von rechts ist? :-D))
Und dann ist die Bedingung

f (x) = 2

für

x \in [3; \infty [

gegeben?

Allerdings verstehe ich dann etwas anderes nicht... wieso setze ich die Zahlen in die Gleichung der linken seite ein, in:

\frac{1}{3} x + 1

für

x \in] - \infty; 3 [

?
Wo ich doch eigentlich das

f (x)

für die andere ausrechne: 2 für

x \in [3; \infty [

???

Ich weiß, ich hab so viele verschiedene Fragen

: (

Lilith

13:30 Uhr, 19.09.2010

: S

Könnte bitte jemand weiterhelfen?

Photon aktiv_icon

20:36 Uhr, 19.09.2010

>>"Das Auto startet bei x=5. Höhe:2" - Du hast also einfach willkürlich mal 5 ausgewählt? Ich hätte auch bei 6 anfangen können oder? Und dann einfach näher an 3 herangehen mit den Zahlen?
__________________

Dornathal wollte nur das Prinzip veranschaulichen, eigentlich wählt man sich keine Punkte, denn mit keinem Punkt wäre man unendlich nah an der 3. Man will aber gerade unendlich nah rankommen, das soll der Limes ausdrücken.

>>"Der Fahrer vermutet dann also, dass bei x=3 das Auto die Höhe 3 hat." - Du meinst die Höhe 2 oder? :-)
__________________

Ja, die Höhe 2 wäre richtig gewesen.

>>Ich kapiere das mit dem h überhaupt nicht, tue mich ja schon beim Limes schwer :(
__________________

Ja, das ist schon etwas tricky. :-) Was du machst ist Folgendes: Du bewegst dich entlang der x-Achse immer näher auf den Punkt 3 zu. Der Abstand deiner momentanen Position vom Grenzwert wird als

h

bezeichnet. Lässt du

h

gegen Null gehen, bewegst du dich unendlich nah an die 3 heran.

Jetzt betrachtest du den Funktionswert in Abhängigkeit von deiner Position. Was du haben willst, wenn die Funktion stetig sein soll, ist dass der Grenzwert bei Annäherung von beiden Seiten der gleiche ist. Dann laufen beide Äste der Funktion im Punkt 3 zusammen und machen keinen Sprung.

Soviel zur Theorie, aber das hat Dornathal ja schon super erklärt. Konkret sieht das so aus: Wir setzten für x die Drei ab- oder zuzüglich eines kleines Abstandes

h

ein.

Bei der Annäherung von rechts:

x = 3 + h

Bei der Annäherung von links:

x = 3 - h

Nun lassen wir

h

gegen Null laufen, das entspricht dem Annähern an

x = 3

. Und schauen, wie sich unsere Funktionen verhalten. Ich bezeichne die linke Funktion als

l (x)

und die rechte als

r (x)

. Dann gilt:

rechts:

lim_{h \to 0} r (3 + h) = lim_{h \to 0} 2 = 2

links:

lim_{h \to 0} l (3 - h) = lim_{h \to 0} \frac{1}{3} (3 - h) + 1 = lim_{h \to 0} 1 - \frac{h}{3} + 1 = lim_{h \to 0} 2 - \frac{h}{3} = 2

Beide Limiten gehen also gegen den gleichen Grenzwert, damit ist die Funktion in x=3 stetig.

Lilith

06:09 Uhr, 20.09.2010

Danke danke für die Antwort!
Kam gerade noch rechtzeitig, damit ich dem Stoff der Woche hoffentlich folgen kann!

So, es ist zwar immer noch etwas brüchig bei mir, aber ich glaube, ich fange an es zu kapieren.

Bei der Annäherung von rechts:

x = 3 + h

Bei der Annäherung von links:

x = 3 - h

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Ich denke, da hat es Klick gemacht.
Ist das immer das Prinzip der h-Methode? (mir ist schon klar, dass das jetzt speziell für die Aufgabe gilt :-) aber allgemein immer bei rechts

+ h

und bei links

- h)

Nun lassen wir

h

gegen Null laufen, das entspricht dem Annähern an

x = 3

. Und schauen, wie sich unsere Funktionen verhalten. Ich bezeichne die linke Funktion als

l (x)

und die rechte als

r (x) .

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Okay.
Bei den Gleichungen setze ich dann einfach, je nachdem,

3 + h

oder

3 - h

ein?
Und da ich das

h

ja suche, kann ich die Limmen einfach nach

h

auflösen?

Eines kapiere ich immer noch nicht.
Bei der rechten Seite.
Wie berechne ich die? Mit der Funktion von der linken?
Ich verstehe den Rechenvorgang nicht:

rechter:

lim_{h \to 0} r (3 + h) = lim_{h \to 0} 2 = 2

Bei dem linken kann ich es ja in die Gleichung einsetzen, aber bei dem rechten?

So weit, so gut.
Danke danke nochmals für die Antworten!
Puh, vielleicht geht auch mir noch ein Lichtlein in Mathematik auf :-D)
(Ich muss jetzt erstmal zur Schule...)

michael777 aktiv_icon

07:57 Uhr, 20.09.2010

"Bei den Gleichungen setze ich dann einfach, je nachdem,

3 + h

oder

3 - h

ein?"
bei der Annäherung von rechts:

3 + h,

bei der Annäherung von links

3 - h

vereinfacht ausgedrückt:

3 + h

bedeutet einfach "etwas größer als 3"

z . B

3,01

3 - h

bedeutet einfach "etwas kleiner als 3"

z . B

2,99

"Und da ich das

h

ja suche, kann ich die Limmen einfach nach

h

auflösen?"

h

ist nicht gesucht, sondern ein ganz kleiner Wert (wegen

h \to 0)

es wird nichts nach

h

aufgelöst

"Eines kapiere ich immer noch nicht.
Bei der rechten Seite.
Wie berechne ich die? Mit der Funktion von der linken?"

das ist der entscheidende Punkt, der dir klar werden muß

die Funktion ist zweigeteilt:
linker Teil:
wenn

x < 3

ist, dann wird

f (x) = \frac{1}{3} x + 1

verwendet
rechter Teil:
für

x \geq 3

wird

g (x) = 2

verwendet (ich nenn sie mal

g (x),

in der Aufgabe steht nur

2)

beim linken Grenzwert mit

3 - h

ist

x < 3,

deshalb muss dort

f (x)

(also die "linke Funktion" verwendet werde
beim rechten Grenzwerte mit

3 + h

ist

x \geq 3,

deshalb wird dort

g (x)

(also die "rechte Funktion" verwendet

"Ich verstehe den Rechenvorgang nicht:
rechter:

lim_{h \to 0} r (3 + h) = lim_{h \to 0}

2=2"
das müsste jetzt klar sein, bei der rechten Seite wird die "rechte Funktion"

y = 2

verwendet, der Grenzwert davon ist 2

"Bei dem linken kann ich es ja in die Gleichung einsetzen, aber bei dem rechten?"
wie oben beschrieben gibt es zwei Funktionsgleichungen, eine für die linke Seite und eine für die rechte Seite

Lilith

16:02 Uhr, 20.09.2010

Hallo! :-)

So ich denke, ich habs nun kapiert.
Habe mir die Aufgabe nochmals bis zum erbrechen mit euren Antworten durchgeschaut.

Und ist mir auch klar geworden, wie ich die "rechte" Seite berechne.
also das 2 für

x \in] - \infty; 3 [

y = 2

ganz einfach. Ich hätte gar nichts "rechnen" brauchen.
Hach, bin ich dämlich. Ich verstehe ja nicht mal die Vorgaben.
Aber jetzt weiß ich, worauf ich dann immer achten muss!

Nun ist es klar.

Vielen Dank an Dornathal, Photon und michael777, dass ihr mir geholfen habt! :-D)
Bei meinem Lehrer hätte ich das nie kapiert.

Liebe Grüße!

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