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Integral Darstellung der Delta Funktion

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Differentiation

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration

TheLardos aktiv_icon

13:47 Uhr, 09.09.2017

Hallo zusammen!

Ich weiß, dass man das Dirac-Delta ausdrücken kann durch

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i (a + b) x} d x = δ (a + b)

.

Ich frage mich jedoch, ob man irgendwie zeigen kann, dass auch

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{i (a + b) x} d x = δ (a + b)

gilt? Da Der Realteil von

e^{i x}

die Kosinus- und der Imaginärteil die Sinusfunktion beschreibt und diese ja periodische Funktionen sind, sollte man ja eigentlich die Grenzen des Integrals "verschieben" können, ohne das Ergebnis zu ändern, oder?

Kann man dann nicht die Grenzen

[0, \infty]

irgendwie zu

lim_{l \to \infty} [- \frac{l}{2}, \frac{l}{2}]

oder etwas ähnlichem verschieben, um wieder die Delta-Funktion zu bekommen?

Liebe Grüße
Luca

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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DrBoogie aktiv_icon

16:59 Uhr, 09.09.2017

Du verstehst hoffentlich, dass dieses Integral kein richtiges Integral ist, sondern nur ein Schreibweise?

HilbertRaum aktiv_icon

10:34 Uhr, 10.09.2017

Deiner Frage liegt folgender (ganz spezieller, aus dem Bereich der Fourierintergrale stammender) Sachverhalt zugrunde:
Man betrachtet eine Folge vom Typ

δ

(Also nicht die Delta-„Funktion“, die in Wirklichkeit eine singuläre Distribution ist!):

δ_{n} (x) = \frac{1}{π} \frac{s i n (n x)}{x}

Je stärker n wächst, umso mehr verringern sich die Abstände der Nullstellen/Extremwerte, die Amplitude für x=0 wächst so stark, dass die Gesamtfläche konstant 1 bleibt:

\int_{\infty}^{\infty} δ_{n} (x) d x = \frac{1}{π} \int_{\infty}^{\infty} \frac{s i n (n x)}{x} d (n x) = 1

Nun gilt:

\frac{1}{π} \frac{s i n (n x)}{x} = \frac{e^{i n x} - e^{- i n x}}{2 π i x} = δ_{n} (x)

, also

δ_{n} (a + b) = \frac{1}{2 π} \int_{- n}^{n} e^{i x (a + b)} d x \to

HIER siehst du den entscheidenden Unterschied zu deiner Formel!!!!!

Es lässt sich zeigen, dass

δ_{n} (x)

eine Folge vom Typ

δ

ist. Das heisst:
Es ist eine reguläre (!) Distributionsfolge, sodass gilt:

lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ_{n} (x) φ (x) d x = δ^{*} (φ) = φ (0)

Aus Bequemlichkeit schreibt man nun dafür oft:

φ (0) = \int_{- \infty}^{\infty} δ (x) φ (x) d x

Lardos aktiv_icon

12:46 Uhr, 10.09.2017

Ahh, vielen Dank für die Antwort.

Ich glaube mir war die eigentliche Herkunft der Delta-Funktion gar nicht bewusst. Das hat es mir etwas verständlicher gemacht!

Gruß
Luca

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