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Integral einer Kugelkuppel abh. von Achse

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Integration, Kalotte, Kugel, Kugelhaube, Kugelkappe, Kugelsegment

dd812 aktiv_icon

17:59 Uhr, 06.02.2019

Hallo,

ich würde gerne wissen, ob ich folgende Aufgabe richtig gerechnet habe, da ich mir dabei nicht wirklich sicher bin.

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Gegeben: homogener Körper

K = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4, z \geq 1}

Gesucht: Berechne folgendes Integral:

\int \int \int_{K} z d (x, y, z)

Meine Lösung (siehe auch das rudimentäre Bild):
Nach dem Bild handelt es sich um eine Kalotte von

1 \leq z \leq 2

.
Der Radius a der Kalotte beträgt nach Formelsammlung

\sqrt{3}

.

Da

z

von 1 bis 2 begrenzt ist, löse ich dieses Integral zuerst und habe anschließend nur noch einen Kreis zu lösen:

\int \int \int_{K} z d (x, y, z) = \int \int_{M} (\int_{1}^{2} z d z) d (x, y) = \int \int_{M} 1,5 d (x, y)

mit

K = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 4}

Polarkoordinaten:

x = r \cdot cos φ

mit

0 \leq r \leq \sqrt{3}, | det | = r

y = r \cdot sin φ

mit

0 \leq φ \leq

2pi

Einsetzen in

M :

1,5 \cdot \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{2 \cdot π} r d φ

= 3 \cdot π \cdot {[0,5 \cdot r^{2}]}_{0}^{\sqrt{3}} = 4,5 \cdot π

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Danke schonmal für's Lesen und für ein paar Hinweise. :-)
Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

el holgazán aktiv_icon

22:00 Uhr, 06.02.2019

Hallo dd812

Irgendwas kann da nicht stimmen.

Wenn du dir die Bedingung anschaust

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4

und ein beliebiges

z

fixierst, dann sind die Werte von

x

und

y

nicht frei, sondern hängen vom gewählten

z

ab. Beispiel:

Für

z = 1

bekommst du

x^{2} + y^{2} \leq 3

also eine Scheibe mit Radius

\sqrt{3}

Für

z = 2

jedoch, bekommst du

x^{2} + y^{2} \leq 0

also einen Punkt

(0, 0)

Im Schritt wo du das Inegral für

z

alleine ausgerechnet hast, hast du die Beziehung zwischen

x

y

und

z

missachtet. Deine folgenden Integrale integrieren immer über die gleiche Scheibe; aber wie oben schon argumentiert, hängt die Scheibengrösse von

z

ab.

Richtig wäre:

\int_{K} z d V = \int_{1}^{2} \int_{M (z)} z d m d z

wobei

M (z) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4 - z^{2}}

Du kannst nun

\int_{M (z)} z d m = z \cdot \int_{M (z)} 1 d m

integrieren, oder geometrisch argumentieren, warum die Fläche der Kreisscheibe einen bestimmten Wert hat. Egal wie du vorgehst, das Ergebnis wird sicher von

z

abhängen. Danach hast du dann noch das äussere Integral über

z

zu lösen.

godzilla12 aktiv_icon

03:35 Uhr, 07.02.2019

Du musst es in Zylinderkoordinaten machen:

x = r cos φ (1 a)

y = r sin φ (1 b)

= r

d φ d z (1 c)

J := \int \int \int = \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - z^{2}}} r z d φ d z

(2)

Hier wie heißen diese infinitesimalen Cavalierischnitte im Turmbau zu Babel?
Wegen dem Pythagoras ist

r

eine Funktion von

z; z

muss die äußere Integration sein und

r

die innere. ( Hier dein

\sqrt{3}

entspricht

z . B

r (Z = 1);

da brauch ich keine Formelsammlung.

J = 2 π \int_{1}^{2} z \sqrt{4 - z^{2}} = (3 a)

= - \frac{2}{3} π {(4 - z^{2})}^{\frac{3}{2}} |_{1}^{2} = 2 π \sqrt{3} (3 b)

dd812 aktiv_icon

14:09 Uhr, 08.02.2019

Hallo ihr beiden,

besten Dank schonmal für eure Antworten.
So wie ich das sehe, ist das Vorgehen ja bei euren beiden Vorschlägen gleich, innen nach

r

und außen nach

z

integrieren.

Wenn ich das bei mir mache, dann komme ich allerdings nicht auf das gleiche Ergebnis wie godzilla12, weil ich von Gleichung 2 nach Gleichung

3 a

das

r

\frac{r^{2}}{2}

aufleite.

Bei mir schaut das dann so aus:

\int_{M} = z \cdot \int_{0}^{2} \cdot π \int_{0}^{\sqrt{4 - z^{2}}} r

d φ = 2 \cdot π \cdot z \cdot {[\frac{1}{2} \cdot r^{2}]}_{0}^{\sqrt{4 - z^{2}}} =

= 2 \cdot π \cdot z \cdot (\frac{4 - z^{2}}{2}) = π z (4 - z^{2})

\to \int_{K} = \int_{1}^{2} π z (4 - z^{2}) d z = π \int_{1}^{2} 4 z - z^{3} d z = π {[2 z^{2} - \frac{1}{4} \cdot z^{4}]}_{1}^{2} = \frac{9}{4} π

Könnt ihr mir erklären, warum man das

r

bei godzillas Lösung nicht integriert?

Gruß

pwmeyer aktiv_icon

16:51 Uhr, 08.02.2019

Hallo,

da hat sich

G

wohl vertan.

Gruß pwm

dd812 aktiv_icon

10:26 Uhr, 09.02.2019

Danke an alle, dann hat sich meine Frage geklärt!

godzilla12 aktiv_icon

12:03 Uhr, 09.02.2019

Seit Tagen schon suche ich den Fehler. Ich hab es echt nicht gemerkt, dass ja

r

dr integriert werden soll und nicht dr . Woran mir das auffiel? Effektiv kriegst du doch die Schwerpunktskoordinate; es muss gelten

1 < \bar{z} < 2 (2.1 a)

Und ich krieg was

> 2

raus - eine ausgezeichnete Plausi, ob das Ergebnis stimmt.

Laut Wiki beträgt das Kugelvolumen

V_(kug)

= \frac{5}{3} π (2.1 b)

Hier warum weigert der sich, subscripts korrekt zu setzen; was sind denn das auf einmal für neumodische Sitten?

DD mit deinem Ergebnis wird es trivial richtig:

1 = \frac{20}{20} < \frac{9}{4} : \frac{5}{3} = \frac{27}{20} < 2 = \frac{40}{20} (2.2)

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