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Konvergenz beweisen (Epsilon-Kriterium)

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Epsilonumgebung, Folgen, Grenzwert, Konvergenz, lim

BuzzKillington aktiv_icon

14:13 Uhr, 26.07.2018

Hallo,

ich versuche seit gestern, mich in die Materie des Konvergenz-Beweises hineinzuarbeiten, habe aber große Probleme damit, den Beweis nach dem Epsilon-Kriterium zu verstehen. Vorneweg: mir ist die Epsilon-Definition von Folgenkonvergenz geläufig und ich kann die Definition auch nachvollziehen. Wenn ich nun aber einen gefundenen Grenzwert beweisen soll, steh ich ziemlich auf dem Schlauch, weil ich das Prinzip nicht verstehe. Selbst bei meinem einfachen Beispiel durchdringe ich den Sinn dahinter nicht so ganz. Ich habe mir etliche Beiträge in Foren durchgelesen (ich weiß, dass die Frage auch hier schon mehrere male gestellt wurde), Youtube-Videos angeschaut, aber ich will es irgendwie nicht raffen.

Beispiel:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Sei nun

ε > 0,

dann folgt

| A - a | < ε

(Sei A hier meine Folge)

| \frac{1}{n} - 0 | = | \frac{1}{n} | = \frac{1}{n}

\frac{1}{n} < ε \Rightarrow n > \frac{1}{ε}

(Anm.: Das ist eine Beispielaufgabe aus meinem Skript); nun steht hier "wähle

N

als nächste

ℕ,

die

> \frac{1}{ε}

" Hier kommen erste Unklarheiten auf, wieso tut man das? Das hat was damit zu tun, dass man für ALLE

n

zeigen soll, dass es immer unendlich viele Werte gibt, die innerhalb der Epsilonumgebung liegen, oder? Nun steht hier:

\forall n \geq N : n \geq N > \frac{1}{ε} \Rightarrow \frac{1}{n} < ε

für alle

n \geq N

Der letzte Teil ist das, wo es endgültig hakt. Was zeigt das? Wieso folgt daraus, dass der Beweis für alle

n

erbracht ist? Ich habe x-mal versucht, mir das grafisch irgendwie darzustellen, lande aber immer bei Widersprüchen und mache es noch unverständlicher. Ich glaube, dass ich kurz davor bin, es zu schnallen aber irgendwo der entscheidende Punkt fehlt.
Wenn es hier jemanden gibt, der die Geduld hat, mir das näher zu bringen, wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Roman-22

14:40 Uhr, 26.07.2018

Um zu beweisen, das a der Grenzwert der Folge

< a_{n} >

ist, muss man zeigen, dass in jeder noch so kleinen

ε -

Umgebung des Grenzwerts a fast alle Folgenglieder liegen.
"Fast alle" bedeutet "alle bis auf endlich viele". Das ist schärfer als deine Formulierung "unendlich viele". Wenn unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung

(\in

jeder Umgebung!) eines Werts liegen, dann ist dieser ein Häufungspunkt, aber nicht notwendigerweise ein Grenzwert. Eine Folge kann durchaus mehrere Häufungspunkte haben - dann ist sie aber nicht konvergent und es gibt keinen Grenzwert.

Wenn aber fast alle Folgenglieder in jeder Umgebung von a liegen, dann kann man das auch so ausdrücken: Ab einem gewissen Index (der von

ε

abhängen wird) liegen alle Folgenglieder in der Umgebung.
Formal: Es gibt einen Index

N

so, dass für alle

n > N

gilt

| a_{n} - a | < ε

.
Wenn es bei einer gegebene Folge also gelingt für jedes (noch so kleine)

ε

so ein

N

zu finden, dann hat man gewonnen, die Folge ist konvergent gegen diesen Grenzwert

a

.

Zu deinem Beispiel:

a_{n} := \frac{1}{n}

. Wie vermuten aus gutem Grund

a = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

.

Gibt es nun für jedes

ε

ein

N

so, dass für alle

n > N

gilt

| a_{n} - a | < ε,

also konkret

| \frac{1}{n} - 0 | < ε

?
Suche wir doch so ein

N

indem wir diese Betragsungleichung nach

n

auflösen. Wegen

n > 0

können wir den Betrag auch weglassen:

\frac{1}{n} < ε \Rightarrow n > \frac{1}{ε}

.
Was bedeutet das nun? Für jedes

n > \frac{1}{ε}

liegt

a_{n}

in der

ε -

Umgebung von 0.
Wählen wir etwa

ε = 10^{- 6},

dann liegen ab dem Glied

a_{1000001}

alle in der

ε

-Umgebung von

0,

denn alle Glieder ab

\frac{1}{1000001}

sind kleiner als

10^{- 6}

.

Wie haben also unser

N

mit

\frac{1}{ε}

gefunden. Für jedes

ε > 0

existiert also ein

N = \frac{1}{ε}

mit

| \frac{1}{n} - 0 | < ε \forall n > N

. Und das bedeutet nun eben, dass 0 der Grenzwert der Folge ist.

sprtka aktiv_icon

14:44 Uhr, 26.07.2018

Das Kriterium besagt, dass es zu jedem epsilon ein N geben muss, so dass der Betrag |A-a|<epsilon ist, für alle n>N. Wenn du also zu jedem epsilon so ein N findest, wo für alle n>N die Ungleichung gilt, hast du den Beweis, dass die Folge gegen a konvergiertz. Du suchst also dieses N.
Dafür schaust du dir diese Ungleichung an und prüfst, für welche n sie gilt. Dafür muss du nach n auflösen. Da hast du rausgefunden, dass das genau dann gilt, wenn n > 1/epsilon ist. Da aber die Ungleichung für alle n > N gelten soll, kannst du gleich N = 1/epsilon setzen. Somit hast du dein N gefunden und bist fertig. Dann schreibst du noch dein Kriterium mit dem konkretem N auf.

BuzzKillington aktiv_icon

15:01 Uhr, 26.07.2018

Erstmal vielen Dank euch beiden. Indem man die Ungleichung nach

n

umstellt, findet man sozusagen den Index, ab dem die Folge abhängig von Epsilon gegen den Grenzwert konvergiert und ist somit schon fast fertig, habe ich das richtig verstanden? Man benennt den Index dann nur um in

N

(nächst größeres Folgenglied), was ja möglich ist, da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Und das "schustert" man dann mit der Definition zusammen, nach der

n \geq N

ist, was mit unserer Ungleichung zusammen ebenfalls größer ist als

\frac{1}{ε}

. Da das die Definition erfüllt, ist gezeigt, dass die Folge gegen den Grenzwert konvergiert. Ist das so richtig (Wenn auch vielleicht schwammig ausgedrückt)?

sprtka aktiv_icon

15:07 Uhr, 26.07.2018

yup, richtig

BuzzKillington aktiv_icon

15:17 Uhr, 26.07.2018

Alles klar, dann werde ich mich damit jetzt nochmal intensiv auseinandersetzen, was jetzt möglich ist, da ich das Prinzip endlich verstanden habe. Nochmals vielen Dank.

Eine kleine Frage hätte ich dennoch: ich bin in dem Zusammenhang öfter auf den Begriff "abschätzen" gestoßen. Was hat es damit auf sich?

sprtka aktiv_icon

15:40 Uhr, 26.07.2018

Den Zusammenhang musst du genauer definieren. Kann alles mögliche bedeuten, zBs dass das N ja auch belibig schlecht gewählt werden kann (das doppelte wäre immer noch ein N). Weiß nicht, was du meinst.

BuzzKillington aktiv_icon

15:51 Uhr, 26.07.2018

Okay, zum Beispiel hier: www.mathelounge.de/207740/beweis-mit-epsilon-dass-die-folge-mit-an-3n-gegen-konvergiert

"Dazu müssen wir unseren gegebenen Term, in diesem Fall |3n−2n+2−3|, abschätzen."

Was meint er hier mit abschätzen? Und in welchen Fällen muss man so vorgehen?

sprtka aktiv_icon

16:13 Uhr, 26.07.2018

Ja, genau das ist damit gemeint, es reicht, wenn du etwas größeres als den Wert findest, du schätz es also nach oben ab (suchst obere Schranke) und dann kann ja dein N beliebig schlecht werden. Ich könnte in dem Fall sagen

∣ \frac{3 n - 2 - 3 n - 6}{n + 2} ∣ = ∣ \frac{- 8}{n + 2} ∣ = \frac{8}{n + 2} \leq ε

sagen und dann

n > \frac{8}{ε} - 2

nehmen, damit hättest du kleineres N. Du schätz es aber einfach nach oben ab, schreibst < statt = und es passt auch.

Roman-22

16:29 Uhr, 26.07.2018

>

Eine kleine Frage hätte ich dennoch: ich bin in dem Zusammenhang öfter auf den Begriff "abschätzen" gestoßen. Was hat es damit auf sich?

Wie du gesehen hast geht es hier um Ungleichungen und es ist oft zu zeigen, dass ein Ausdruck sicher immer größer als ein anderer ist. Dass sich

N

so einfach wie in deinem Beispiel ermitteln lässt ist ja leider nicht die Regel.

Möchtest du zB zeigen, dass

\forall n > 0 : n^{2} - 2 n + 2 > 0

gilt (für

n < 0

ist die Aussage trivial), dann kannst du mal so beginnen:

n^{2} - 2 n + 2 = n^{2} - 2 n + 1 + 1 = {(n - 1)}^{2} + 1

und jetzt kommt in der Kette ein Abschätzung. Wir lassen das

+ 1

weg, wodurch wir sicher einen kleineren Ausdruck bekommen. Wir schätzen also

{(n - 1)}^{2} + 1

mit dem Ausdruck

{(n - 1)}^{2}

nach unten ab. Also gehts weiter mit

... = {(n - 1)}^{2} + 1 > {(n - 1)}^{2} \geq 0 w e i l

ein Quadrat in

ℝ

immer

\geq 0

ist.

Schauen wir uns nun Beginn und Ende der Zeile an und schreiben dazwischen das schärfste (einschränkendste) Ungleichheitszeichen das in der Kette vorkommt, dann haben wir

n^{2} - 2 n + 2 > 0

und somit die Behauptung bewiesen.

BuzzKillington aktiv_icon

16:33 Uhr, 27.07.2018

Okay, ich weiß nicht ob es ein Verständnisproblem ist und ich mir das einfach nicht vorstellen kann oder ob es an einer bestimmten Stelle hakt; aber ich kann die Erklärung lesen und nachvollziehen, verstehe sie aber trotzdem nicht. Vorweg: ich weiß, was Schranken sind und ich hab jetzt sowohl die Definition des Grenzwertes, als auch das Prinzip des Beweises verstanden (letzteres zumindest im Ansatz); aber wann ich jetzt "nach oben/unten abschätzen" muss, und wieso ich das überhaupt mache, ist mir schleierhaft. Das Problem ist, dass der Begriff des Abschätzens in meinem Vertiefungskurs nicht behandelt wurde - er aber wohl ziemlich wichtig ist.

@Roman-22: Was genau meinst du mit schärfstes Ungleichheitszeichen, das in der Kette vorkommt?

Ist mir auch etwas peinlich, hier zehnmal nachfragen zu müssen; aber da eure Erklärungen bisher prima waren würde ich es mir auch gern weiter hier erklären lassen, anstatt das Netz zu durchforsten und doch nichts klärendes zu finden.

sprtka aktiv_icon

16:58 Uhr, 27.07.2018

Du kannst immer abschätzen, es ist aber nicht immer gewollt (klausuren), weil du beliebig schlecht abschätzen kannst. Hier schätzt du immer nach oben ab, da du < Zeichen hast. Ich empfehle nur dann abzuschätzen, wenn die richtige Gleichheit zu schwer zu rechnen ist. Wenn du es also nicht berechnen kannst, weil zu schwer (zBs in dem Beispiel von dem Kollegen oben), schätz du das ab (bleibt dir eh nichts anderes übrig).
Wie bei einer Reservierung, entweder du weißt genau, wie viele Gäste kommen, dann bestellst du die Plätze exakt, oder bist du nicht sicher, dann schätz du nach oben ab und bestellst lieber bissl mehr, aber auch nicht unnötig zu viel mehr, sonst sieht das doof aus. LG

BuzzKillington aktiv_icon

18:40 Uhr, 28.07.2018

Das sollte fürs Verständnis reichen, vielen Dank für die Hilfe!

Roman-22

18:53 Uhr, 28.07.2018

>

@Roman-22: Was genau meinst du mit schärfstes Ungleichheitszeichen, das in der Kette vorkommt?

In der Kette

a \leq b = c < d

ist das strikt "Kleiner" Zeichen das einschränkendste/schärfste und daher kann man

a < d

folgern.

a \leq d

wäre nicht falsch, aber das Gleichheitszeichen kann wegen

c < d

nie schlagend werden.

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