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Konvergenz durch Epsilon-Kriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Epsilon-Kriterium, Grenzwert

Farbenfroh aktiv_icon

22:12 Uhr, 09.11.2013

Hi, ich bedanke mich im Vorfeld schon mal bei allen die sich meiner Frage widmen.
Im Prinzip glaube ich folgende Aufgabe schon gelöst zu haben, nur weiß ich nicht, ob ich das nun schon ausreichend allgemein bewiesen bzw. was vergessen habe:

1)

Untersuche mit dem Epsilon-Kriterium folgende zwei Folgen auf Konvergenz:

a) a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

b) b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{1}{n^{2} + 1}

Vermute dazu einen Grenzwert und bestimme

N =

N(Epsilon) in Abhangigkeit von Epsilon.

Meine bisherigen Ansätze:

1 a)

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

Vermutung: Grenzwert (a)

= 0,

dh. die Folge konvergiert gegen Null, ist eine Nullfolge
zu zeigen: Es ex. ein Index

N,

sodass für alle Folgeglieder

a_{n}, n > N

gilt:

| \frac{1}{\sqrt{n}} - a | <

Epsilon

Sei

a = 0

der vermutete Grenzwert und Epsilon

= 0,1,

dann existiert

N \geq 100,

sodass für jedes Folgeglied

a_{n}, n \geq N : | \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | < 0,1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 b)

b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{1}{n^{2} + 1}

Vermutung: Die Folge ist divergent

Nun habe ich erst mal vier Werte für

n

eingesetzt:
Für

n = 2 : 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}

Für

n = 3 : - 1 \cdot \frac{1}{10} = - \frac{1}{10}

Für

n = 4 : 1 \cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{17}

Für

n = 5 : - 1 \cdot \frac{1}{26} = - \frac{1}{26}

Hier hänge ich nun und habe keine Ahnung wie ich die Divergenz weiter beweisen kann? Oder reicht das bereits??

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Bummerang

22:22 Uhr, 09.11.2013

Hallo,

1 a)

Jetzt hast Du gezeigt, dass für

ε = 0,1

ein

N

existiert! Du musst aber zeigen, dass für alle

ε > 0

ein solches

N

existiert. Und

1 b)

ist konvergent!

Farbenfroh aktiv_icon

22:34 Uhr, 09.11.2013

Hi, das bedeutet also mein

E = 0,1

kann als Induktionsanfang genutzt werden und dass es letztlich für alle

E > 0

gilt muss ich durch Induktion beweisen? Zumindest habe ich Induktion bisher immer mit den Worten "zeige, dass für alle

(. .)

gilt: " in Verbindung gebracht. Oder wie könnte ich es sonst für alle weiteren

E

beweisen??

Und wieso Aufgabe

b)

konvergent sein soll verstehe ich gar nicht, da doch immer ein Wechsel zwischen positiven / negativen Ergebnissen stattfindet?

Bummerang

22:43 Uhr, 09.11.2013

Hallo,

eine Induktion braucht eine Indexmenge (schau Dir die Definition für eine Indexmenge an) und da fehlt mir die Vorstellung, wie Du die positiven reellen Zahlen indizieren willst! Wenn Dir die Formulierung "für alle" nur in Verbindung mit vollständiger Induktion begegnet ist, dann hast Du nicht wirklich viel Erfahrung auf mathematischem Gebiet!

Warum sollte es nicht wenigstens eine Zahl geben, bei der in jeder noch so kleinen Umgebung sowol positive als auch negative Zahlen liegen?

Farbenfroh aktiv_icon

12:42 Uhr, 10.11.2013

Da hast du wohl Recht, sonst würde ich nicht so dämliche Fragen stellen.
Ich studiere seit 3 Wochen Informatik und Mathe ist da ein notwendiges Übel, welches mir als Mathe-Grundkursler

z . Z

. noch sehr schwer fällt. Mit der Indukton wurde ich vor zwei Wochen erstmals konfrontiert und seither habe ich sie nicht weiter anwenden müssen, daher ist mir das Thema eben spontan in den Sinn gekommen. Ich entschuldige mich, dass ich mich damit total zum Affen gemacht habe.

So.. ich habe noch einige Stunden gegrübelt, da mir die Aufgabe doch recht einfach erscheint und ich da jetzt endlich auf eine korrekten Beweis kommen möchte, das muss ich doch irgendwie klappen.
Ich hab nun mal folgenden Weg versucht:

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

Vermuteter Grenzwert (a)

= 0

\to | a_{n} - a | < E

\to | \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 | < E

\to \frac{1}{n} <

E²

\to

E²

\cdot n > 1

Sei

E

eine beliebige Zahl

> 0

und

n \geq N

gilt also:
E²

\cdot n > 1

Für alle

n >

E² gilt also:

| a_{n} - a | < E

Wäre super wenn jemand einen hilfreichen Kommentar dazu abgeben könnte bzw. ich irgend einen Hinweis erhalte um auf den richtigen Weg zu gelangen, falls das wieder ein Griff ins Leere war. Ich bedanke mich schon mal vielmals für die Mühe!

Bummerang

13:11 Uhr, 10.11.2013

Hallo,

bis einschließlich

\frac{1}{n} < ε^{2}

alles korrekt. Man würde dann

z . B

. so fortfahren:

n > \frac{1}{ε^{2}}

Sei

N (ε) := [\frac{1}{ε^{2}}] q q \cup a d; [...]

ist die Gaußsche Klammer für die größte ganze Zahl!

Dann gilt

N \leq \frac{1}{ε^{2}} < N + 1

und damit für alle

n > N :

n > \frac{1}{ε^{2}}

ε^{2} > \frac{1}{n}

ε > \sqrt{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} = | \frac{1}{\sqrt{n}} | = | \frac{1}{\sqrt{n}} - 0 |

und Null ist der Grenzwert!

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