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Lösen von trigonometrischen Gleichungen

Schüler Gymnasium,

Tags: Kosinus, Trigonometrische Gleichungen (Sinus

anonymous

15:38 Uhr, 27.07.2015

Mahlzeit,
gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung

sin (3 x) = 1; x \in [0; 2 π]

Mein Rechenweg ist der hier:

sin (3 x) = 1

\Rightarrow {sin}^{- 1} (1) = 3 x

\Rightarrow 3 x = \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π; k \in ℤ

\Rightarrow x = \frac{1}{6} π + k \cdot \frac{2}{3} π

\Rightarrow x_{1} = \frac{1}{6} π \lor x_{2} = \frac{5}{6} π \lor x_{3} = \frac{3}{2} π

(das angegebene Intervall geht nur bis

2 π)

\Rightarrow L = {\frac{1}{6} π; \frac{5}{6} π; \frac{3}{2} π}

Allerdings geht die Lösung anders vor:

,,Die Substitution

3 x = z

führt zu

sin (z) = 1

mit den Lösungen

z = \frac{π}{2} + k \cdot 2 π; k \in ℤ,

also sind

z_{1} = \frac{π}{2}, z_{2} = \frac{5}{2} π, z_{3} = \frac{9}{2} π, . .

. mögliche Lösungen.
Die Resubstution

z = \frac{π}{2}

führt zu

x_{1} = \frac{1}{6} π \lor x_{2} = \frac{5}{6} π \lor x_{3} = \frac{3}{2} π

.
Als Lösungsmenge erhält man

L = {\frac{1}{6} π; \frac{5}{6} π; \frac{3}{2} π}

."

Meine Frage: Welchen Vorteil hat es, wenn man mit der Substitution oder Resubstitution arbeitet? Denn mit meinem Lösungsweg komme ich ja auch zu denselben Ergebnisse.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

15:48 Uhr, 27.07.2015

Der Unterschied ist marginal.
Allerding sollte heißen:

x_{1} = \frac{π}{6} \land x_{2} = \frac{5}{6} \cdot π \land x_{3} = \frac{3}{2} \cdot π

Roman-22

16:20 Uhr, 27.07.2015

>

Meine Frage: Welchen Vorteil hat es, wenn man mit der Substitution oder Resubstitution arbeitet?
Meiner Meinung nach - keinen. Ich finde, dass die Substitution die Lösung unnötig kompliziert und würde, falls dein Lehrer nicht auf Substitution besteht, bei deiner direkten Variante bleiben.
Die Befürworter der Substitution argumentieren meist damit, dass die Substitution die Aufgabe für schwächere Schüler klarer macht, da immer auf den Fall

sin (z), cos (z) tan (z)

zurückgeführt wird und damit immer das gleiche Lösungsschema zur Anwendung kommen kann. Meist wird auch behauptet, dass der Fehler, dass die Vielfachheit (bei dir die Addition von

k \cdot 2 π)

irrtümlich erst zum Schluss berücksichtigt wird (bei dir also

x = \frac{π}{6} + k \cdot 2 π),

bei Verwendung von Substitution weniger leicht passiert. Ich habe da meine Zweifel, kann es aber nicht beurteilen.

@Respon: Ich würde widersprechen, auch wenn man jetzt Rabulistik betreiben könnte und bemerken, dass du ja indizierte Variable geschrieben hast und nicht einfach nur

x

.

Umgangssprachlich würde man vermutlich sagen, dass die Gleichung

(x - 2) \cdot (x - 3) = 0

die Lösungen 2 UND 3 hat.
Aber im Grunde kommt doch als Lösung entweder

x = 2

ODER

x = 3

infrage.
Jetzt könnte man natürlich schreiben, dass die Lösung

x = x_{1} \lor x = x_{2}

mit

x_{1} = 2 \land x_{2} = 3

ist, aber dagegen sträubt sich dann doch einiges in mir.
Ich denke, dass bei diesem Passus der Musterlösung ohnedies weder das

\land

noch das

\lor

angebracht ist.

Im Gegensatz dazu das Gleichungssystem

(\begin{matrix} x + y = 5 \\ x - y = - 1 \end{matrix})

.
Dieses hat die Lösung (es ist nur eine)

x = 2

UND

y = 3

. Und natürlich kann das noch als Zahlenpaar, etc. geschrieben werden.

R

anonymous

18:30 Uhr, 27.07.2015

Roman-22, in diesem Punkt stimme ich mit dir vollkommen überein (es muss

\lor

sein).

Aber noch eine kleine Frage: Kann ich

\Rightarrow L = {...}

machen? Also das

\Rightarrow -

Zeichen, oder würde man es normalerweise weglassen?

Roman-22

19:04 Uhr, 27.07.2015

Nur weil bei einer Rechnung

x = 2 \lor x = 3

rauskommt bedeutet das ja noch nicht, dass es sich auch wirklich um Lösungen handelt.
Da muss man also zumindest erst noch prüfen, ob diese Werte auch tatsächlich in der Definitionsmenge der Gleichung enthalten ist,

2 \in D \land 3 \in D \Rightarrow L = {2; 3}

und daraus dann durchaus folgern, dass beide zur Lösungsmenge gehören.
Erst dadurch reduziert sich ja in deinem Beispiel die Anzahl der Lösungen von "

\infty

" auf 3.

Anm.: Die Definitionsmenge ist die Grundmenge (hier

[0; 2 π [)

vermindert um die Definitionslücken der Angabeterme (bei deiner Aufgabe ist hier nichts weiter auszuschließen.

Hat man im Zuge der Gleichungslösung etwa quadriert, müssen auch noch zusätzlich die Proben durchgeführt werden, um eventuell auftretende Scheinlösungen auszuschließen.

Kurz: Ja, der Folgepfeil "

\Rightarrow

" hat seine Berechtigung, es kommt nur darauf an, was links davon steht ;-)

anonymous

20:17 Uhr, 27.07.2015

Also könnte ich es dann so machen:

\Rightarrow x_{1} = \frac{1}{6} π \lor x_{2} = \frac{5}{6} π

∨

x_{3} = \frac{3}{2} π

x_{1} \land x_{2} \land x_{3} \in [0; 2 π] \Rightarrow L = {\frac{1}{6} π,

. . .

}

?

Natürlich habe ich, als ich von

x = \frac{1}{6} π + k \cdot \frac{2}{3} π

auf den nächsten Schritt

x_{1} = \frac{1}{6} π \lor x_{2} = \frac{5}{6} π \lor x_{3} = \frac{3}{2} π

gegangen bin, darauf geachtet, dass meine Lösungen im Intervall

[0; 2 π]

liegen. Doch, um noch einmal klar zu zeigen, dass diese drei Lösungen

x_{1}, x_{2} \land x_{3}

zur Lösungsmenge gehören, schreibe ich

x_{1} \land x_{2} \land x_{3} \in [0; 2 π] \Rightarrow L = {\frac{1}{6} π,

. . .

},

richtig? Denn erst jetzt kann ich ja auch den Implikationspfeil

(\Rightarrow)

machen. :-)

Zusätzlich habe ich noch eine Frage.

,,Hat man im Zuge der Gleichungslösung etwa quadriert, müssen auch noch zusätzlich die Proben durchgeführt werden, um eventuell auftretende Scheinlösungen auszuschließen." Roman-22, was meinst du damit? Den Satz kann ich leider nicht nachvollziehen.

Roman-22

21:15 Uhr, 27.07.2015

>

x1∧x2∧x3∈

[

0;2π]⇒L={16π,. . .

},

So kannst du es nicht schreiben, denn

x_{1}

allein ist ja keine Aussage, die mit dem logischen "und" verknüpft werden könnte.

Akzeptiert wird in der Regel

x_{1}, x_{2}, x_{3} \in [0; 2 π [\Rightarrow L = {...},

wobei auch das bei Puristen verpönt ist, die in solchen Fällen das Elementsymbol dreimal sehen möchten und dann die und-Verknüfung nutzen, also etwa

D = [0; 2 π [

x_{1} \in D \land x_{2} \in D \land x_{3} \in D \Rightarrow . .

.

Man kanns mit dem Formalismus auch übertreiben, finde ich.
Und ganz streng formal genommen stimmt diese Implikation ja auch nicht, denn allein aus der Tatsache, dass die drei Werte jeweils in der Definitionsmenge liegen, folgt ja noch nicht, dass sie Lösungen sind. Da müsste streng genommen links ja auch noch stehen, dass jeder der Werte die Ausgangsgleichung erfüllt, denn nur deshalb sind es ja Lösungen!

>

,Hat man im Zuge der Gleichungslösung etwa quadriert, müssen auch noch zusätzlich die Proben durchgeführt werden, um eventuell auftretende Scheinlösungen auszuschließen." Roman-22, was meinst du damit? Den Satz kann ich leider nicht nachvollziehen.

Das Problem hat man vorwiegend bei Wurzelgleichungen und ergibt sich daraus, das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Der Wahrheitswert einer Gleichung kann sich beim Quadrieren ändern und zwar dermaßen, dass aus einer falschen eine richtige Aussage wird.

1 = - 1

ist zweifelsohne eine falsche Aussage, aber wenn wir diese Gleichung beidseits quadrieren, wird daraus

1 = 1,

also eine wahre Aussage.
Nimm etwa die Gleichung

\sqrt{x - 1} = x - 3

Wir quadrieren

x - 1 = x^{2} - 6 x + 9

fassen zusammen

x^{2} - 7 x + 10 = 0

und erhalten für die "Lösungen" dieser Gleichung

x = 2 \lor x = 5

Beide Werte liegen in der Definitionsmenge

D = [1; \infty [,

wir haben uns auch nicht verrechnet, aber trotzdem ist

x = 2

keine Lösung. Das sehen wir erst, wenn wir die Probe machen.
Der Linksterm liefert 1 (Wurzeln sind im Reellen definitionsgemäß immer positiv) aber der Rechtsterm ergibt für

x = 2

eben

- 1

un dsomit ist

x = 2

keine Lösung. Man nennt das gelegentlich eine Scheinlösung und die hat sich eben durch das Quadrieren reingeschwindelt.
Hat man also quadriert, wird die Probe zur Pflicht!

R

anonymous

21:46 Uhr, 27.07.2015

1 .)

Also ich glaube, ich weiß jetzt, was ich mache, um den Schwierigkeiten der Implikation der Lösungsmenge zu entgehen: Ich mache einfach keinen

\Rightarrow -

Pfeil. Also ich schreibe einfach:

L = {

. . .

}

Das ist wohl das einfachste.

2 .)

Folgendes hast du geschrieben:
,,x1∧x2∧x3∈

[

0;2π]⇒L={16π,. . .

},

So kannst du es nicht schreiben, denn

x 1

allein ist ja keine Aussage, die mit dem logischen "und" verknüpft werden könnte."

Aber so müsste es ja richtig sein, nicht:

x_{1} = 5 \land x_{2} = - 6 \in D \Rightarrow

. . . ?
Was dann auf der rechten Seite vom Pfeil kommt, ist ja nicht so wichtig; auf jeden Fall nicht die Lösungsmenge, wie du geschrieben hast. Mich interessiert, ob das jetzt mit der Und-Verknüpfung richtig ist.

3 .)

Radizieren (das Ziehen von Wurzeln) ist eine Äquivalenzumformung, oder irre mich nicht?

4 .)

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Kennst du vielleicht noch andere Sachen, die keine Äquivalenzumformung sind. Also mir fällt nur das hier ein:

f (x) = x^{3}

\Rightarrow f' (x) = 3 x^{2}

Falsch ist es, wenn ich das aufschrieben würde:

\Leftrightarrow f' (x) = 3 x^{2}; f (x)

kann ja dann

f (x) = x^{3} + c

sein.

Roman-22

23:23 Uhr, 27.07.2015

1)

Ich geh mal davon aus, dass das mit der formal korrekten Schreibweise bei euch nicht ganz so heiß gegessen wird und du dir da nicht so große Sorgen machen musst.

>

Aber so müsste es ja richtig sein, nicht: x1=5∧x2=-6∈D⇒. . . ?
Hmm, damit hättest du aber nicht ausgedrückt, dass auch

5

in der Definitionsmenge liegt.

> 3 .)

Radizieren (das Ziehen von Wurzeln) ist eine Äquivalenzumformung, oder irre mich nicht?
Beides :-) Du irrst dich nicht, denn Radizieren ist im Reellen tatsächlich eine Äquivalenzumformung. Auch wenn man manchmal sogar in relativ seriösen Quellen Gegenteiliges liest, meist "untermauert" von einem Gegenbeispiel, welches aber immer daran krankt, dass

\sqrt{x^{2}} = x

angenommen wird und das stimmt eben nicht, denn

\sqrt{x^{2}} = | x |

.
Es dürfen natürlich keine unbestimmten Ausdrücke entstehen (Quadratwurzel aus einer negativen Zahl). Generell ist die beidseitige Anwendung einer injektiven Funktion immer eine Äquivalenzumformung. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten sind aber eben nicht injektiv (dh, dass bei zwei verschiedenen Argumenten das gleiche Funktionsergebnis auftreten kann

\to (2^{2} = {(- 2)}^{2} = 4)

> 4 .)

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Kennst du vielleicht noch andere Sachen, die keine Äquivalenzumformung sind. Also mir fällt nur das hier ein:
Nun, Differenzieren scheidet in dem Zusammenhang ja ohnedies aus, weil es sich dabei nicht um ein Funktion sondern um einen Funktionaloperator handelt, also einen Operator, der auf Funktionen operiert.
So etwas kannst du auf eine gewöhnliche Gleichung nicht loslassen, wohl aber auf eine Gleichung, bei der Funktionen gesucht sind und nicht gewöhnliche Variable, zB eine Integralgleichung.
Wenn du eine "normale" Gleichung einfach so differenzierst, dann kommt Unsinn raus, aber nicht, wie du meintest, weil beim Differenzieren Information verloren geht.
Etwa

2 x = x + 4

mit der Lösung

x = 4

.
Beidseitiges Differenzieren liefert

2 = 1,

also eine Gleichung ohne Lösung.
Oder

x^{2} = 4

(mit den Lösungen

x = \pm 2)

würde zu

2 x = 0

mit der Lösung

x = 0

\to

Unfug!

Wenn du weitere Beispiele für Umformungen suchst, die keine Äquivalenzumformung sind, dann musst du nur beidseits eine Funktion anwenden, die nicht injektiv ist.
Beispielsweise, und damit schließt sich der Kreis, die Sinus-Funktion.

Die Gleichung

x = π

hat die eindeutige Lösung

x = π

.
Wenn wir beidseits die Sinus-Funktion drüberstülpen

sin (x) = sin (π)

\Rightarrow sin (x) = 0

landen wir plötzlich bei einer Gleichung, die unendlich viele Lösungen hat, nämlich

x = k \cdot π

mit

k \in ℤ,

von denen aber alle, bis auf eine, Scheinlösungen sind.

R

anonymous

08:40 Uhr, 28.07.2015

2 .) :

,, >

Aber so müsste es ja richtig sein, nicht: x1=5∧x2=-6∈D⇒. . . ?
Hmm, damit hättest du aber nicht ausgedrückt, dass auch

5

in der Definitionsmenge liegt."

Warum hätte ich denn nicht ausgedrückt, dass

5

in der Definitiosmenge liegt. Dafür, davon bin ich ausgegangen, ist in in diesem Fall doch das

\land

zuständig. Aber anscheinend nicht.
Bitte erklär das mal. :-)

anonymous

12:25 Uhr, 28.07.2015

Komisch, da steht ein ,,A" auf der Startseite und ich bekomme eine E-Mail, dass ,,Matheboss" mir geantwortet hat. Aber da ist keine Antwort vorhanden!?

Roman-22

12:51 Uhr, 28.07.2015

Das

\land

und dsa

\lor

sind Zeichen aus der Aussagenlogik und verbinden zwei Aussagen zu einer neuen Aussage. Eine Aussage kann wahr oder falsch sein.

Ich habe mich oben immer wieder davor gedrückt etwas

x_{1} = 2 \lor x_{2} = 3

zu schreiben, da

x_{1} = 2

ja keine Aussage ist, deren Wahrheitswert man prüfen kann, sondern eigentlich eine Zuweisung, eine Definition - man könnte also eher

x_{1} := 2

schreiben. Ich definiere hier eine neue, bisher noch nicht vorkommende Variable, weise ihr einen Wert zu.
Drum hab ich auch meist nur

x = 2 \lor x = 3 \Rightarrow L = {...}

geschrieben.

Ich bin kein soo großer Formalist, aber vielleicht müsste man, um ganz korrekt zu sein und später eine Möglichkeit zu haben, auszudrücken, dass eine Gleichung für ein bestimmtes

x

erfüllt ist, der Angabegleichung einen Namen geben:

G (x) := (x^{2} - 5 x + 6 = 0)

[

damit wäre dann

G (2)

TRUE und

G (1)

FALSE

]

Jetzt könntest du schreiben

\forall x \in {2,3} : G (x)

oder

x = 2 \lor x = 3 \to G (x)

um auszudrücken, dass 2 und 3 Lösungen der Gleichung sind.

Vorsichtig formuliert würde ich sagen, dass das so wohl nur äußerst selten gemacht wird.

Du verknüpfst nun einerseits

x_{1} = 5

mit

x 2 = - 6 \in D

Man kann nun trefflich darüber diskutieren, ob das überhaupt korrekte Aussagen-Terme sind, aber auch wenn wir das beiseite lassen, was sollte die

5

in der ersten Aussage da mit dem

\in D

in der zweiten Aussage zu tun haben?

Und auch

(x_{1} = 5 \land x_{2} = - 6) \in D

wäre falsch, denn selbst wenn wir akzeptieren, dass

x_{1} = 5

eine Aussage mit Wahrheitswert ist, wäre die Klammer selbst ebenso eine Aussage, könnte also nur die Werte TRUE und FALSE annehmen und die sind beide sicher nicht in

D

enthalten.

R

anonymous

13:28 Uhr, 28.07.2015

1 .)

Ist

x_{1} \in D

eine Aussage? Denn diese Aussage kann ja entweder wahr (TRUE) oder falsch (FALSE) sein.

2 .)

Also dann müsste ich es ja so schreiben:

x_{1} \in D \land x_{2} \in D \land x_{3} \in D \Rightarrow

. . . (so hast du es weiter oben aufgeschrieben)

oder

x_{1} = 5 \in D \land x_{2} = \frac{20}{3} \in D \land x_{3} = \sqrt{2} \in D \Rightarrow

. . . (Was meinst du?)

3 .)

Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass

x_{1} =

. . . keine Aussage sein soll.
Folgendes Beispiel:

x^{2} = 5

\Rightarrow x_{1} = + \sqrt{5} \lor x_{2} = - \sqrt{5}

[

Diese Schreibweise mit dem

\Rightarrow

und

\lor

hat mir mal mein Lehrer gezeigt

]

In diesem Zusammenhang ist

x_{1} = + \sqrt{5}

eine wahre Aussage, oder nicht?

4 .)

Folgendes schreibt du: ,,Drum hab ich auch meist nur x=2∨x=3⇒L=

{

...} geschrieben."
Aber du meintest doch selbst, dass

x = 2

keine Aussage ist, warum würdest du dann so mit dem

\lor

schreiben?

5 .)

Mich interessiert es, wie man das an der Universität mit dem Formalismus betreibt.

Roman-22

14:25 Uhr, 28.07.2015

>

x1=5∈D∧x2=203∈D∧x3=2∈D⇒. . . (Was meinst du?)
Du kannst es auch noch auf die Spitze treiben mit

x_{1} = 5 \land 5 \in D \land . .

.

und trotzdem hättest du in der Implikation noch nicht drinnen, dass die Werte deswegen Lösung sind, weil sie die Angabegleichung erfüllen ;-)

>

Mich interessiert es, wie man das an der Universität mit dem Formalismus betreibt.
Das kommt ganz darauf an. In vielen Bereichen (wenn es nicht gerade um Publikationen geht) aus Effizienzgründen salopper und weniger detailliert als du dir das vermutlich vorstellst.

R

anonymous

19:27 Uhr, 28.07.2015

Wow, du hast dir echt viel Zeit dafür genommen! Super! :-)

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