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Min/max einer P-fkt 3 Grades ohne Ableitung

Schüler

Tags: Maximum, Minimum, Polynomfunktion

Frieder aktiv_icon

23:36 Uhr, 18.01.2014

Hi,

wie bestimmt man Minimum und Maximum einer Polynomfunktion 3ten Grades ohne den Ableitungsbegriff zu kennen?

Konkreter Fall:

f (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 36 x

Hintergrund: Mein Sohn hockt hier in einer Klasse in den USA in "PreCalc" und da ist leider noch nix mit Ableitungen und so.

Das einzige was sich im konkreten Fall sagen lässt, ist dass es an

x = 6

eine doppelte Nullstelle gibt, die aufgrund der Grenzbetrachtung ein lokaler Hochpunkt sein muss.

Danke schön

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Polynomdivision

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte

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Ma-Ma aktiv_icon

23:45 Uhr, 18.01.2014

1) - x

ausklammern.

2) 1

. Nullstelle

= 0

3)

Restterm als Binomische Formel darstellen

\to

weitere Nullstellen ersichtlich

4)

Graph zeichnen

Rückfrage: Das ist ja sicher nicht die ERSTE Aufgabe aus diesem Bereich.
Mit welchen Mitteln wurde dieses Problem bisher in der Schule glöst ?
Sicher hat er dazu Ansätze

. .

Frieder aktiv_icon

23:57 Uhr, 18.01.2014

Die Nullstellen sind ja kein Problem. Aber die Ermittlung der Extrempunkte ohne den Ableitungsbegriff. Ich kenne aus meiner Schulzeit nur den Ansatz mittels "erste Ableitung gleich 0 setzen".

Das Buch haben wir schon durchgeguckt (Mein Sohn war zu der Zeit noch nicht in den USA, so dass er den diesbzgl. Unterricht verpasst hat). Es scheint bisher so zu sein, dass man einfach Wertetabellen anlegt und die Funktionswerte anschaut.

\Rightarrow

Das kann es aber doch nicht sein, oder?

Für Polynomenfunktionen zweiten Grades verwendet das Buch die Scheitelpunktposition bei

x = - \frac{b}{2 a}

(die aber nirgends hergeleitet wird. Kann man ja mit dem Ableitungsbegriff machen).

Möglicherweise ein Trick, den ich bei dem konkreten Fall übersehen habe um das lokale Minimum bei

x = 2

zu sehen?

Gruß

Ma-Ma aktiv_icon

00:03 Uhr, 19.01.2014

Wenn Dein Sohn

z . B

. in der 10.Klasse ist (hast Du uns aber noch nicht verrraten), dann sind Wertetabellen und Graph zeichen ein durchaus üblicher Weg (hier in Deutschland).

Ausnahme: Quadratische Funktion, da kann der Scheitelpunkt weiterhelfen

\to

siehe auch quadratische Ergänzung und binomische Formeln.

LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag:

x = 6

ist keine doppelte Nullstelle.

Frieder aktiv_icon

00:14 Uhr, 19.01.2014

hm, er ist jetzt in der 11ten Klasse (10te in Deutschland abgeschlossen). Das war mir bislang nicht aufgefallen, dass man in Deutschland auch Minima/Maxima nur graphisch abgeschätzt hat. Diese Teile der Kurvendiskussion wurde in seiner deutschen Schule auf einen Zeitpunkt nach der Einführung des Differentialquotienten verschoben. Er hatte in

D

schon die Ableitung von P-Funktionen, darf Ableitungen hier in den USA aber (noch) nicht nutzen :-)

Wenn ich was von seinem US-Lehrer höre, poste ich es gerne.

Danke

Ma-Ma aktiv_icon

00:25 Uhr, 19.01.2014

Auf Gesamtschulen

(D)

ist die 11.Klasse "Einführungsphase". Es wird viel wiederholt und ein wenig Neues hinzugefügt. Ableitungen kommen meist erst im 2.Halbjahr.
(Auf dem Gymnasium ist man viel schneller, sind dort ja auch nur 2 Jahre bis zum Abitur.)

Vom "Hörensagen" ist mir bekannt, dass in den USA der Schulstandard etwas tiefer liegt.

So wird

z . B

. ein Abitur aus den USA hier in Deutschland nicht anerkannt, ist also kein Hochschulzugang. (siehe auch im Internet "Studienkolleg").

Macht Dein Sohn sein Abitur in den USA ?

LG Ma-Ma

Frieder aktiv_icon

00:51 Uhr, 19.01.2014

Er geht nach seiner Ach-und-Krach Versetzung in die 11te Klasse

(G 8)

nur für ein Jahr in die USA. Danach geht es in

D

mit der 11ten Klasse weiter. Also quasi ein künstliches

G 9

mit Extrem-Englisch und dem Versuch die anderen Fächer etwas aufzuholen/zu wiederholen.

Von meinem älteren Sohn weiß ich, dass Leistungskurs Mathematik fast schon zwei Jahren Mathematik auf einem durchschnittlichen US College entsprechen. Aber es gibt in USA auch viel größere Unterschiede auf Schul- als auch auf College-Ebene als in D. Auch liegen die Schwerpunkte manchmal etwas anders: Trigonometrie wird in den USA viel intensiver als in

D

betrieben. Und komplexe Zahlen haben sie hier schon 'touchiert'.

Gruß

Ma-Ma aktiv_icon

00:59 Uhr, 19.01.2014

Von den unterschiedlichen College-Schwerpunkten in den USA habe ich auch schon gehört.

Wenn er in

D

in der 11.Klasse weitermacht, ist dies sicher eine gute Entscheidung.

(Grundlagen "Komplexe Zahlen" werden in

D

nur LK durchgenommen.)

LG Ma-Ma

Atlantik aktiv_icon

02:01 Uhr, 19.01.2014

Weg über die h-Methode:

f

(x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

f (x) = x^{2}

f

(x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2 h x + h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} 2 x + h = 2 x

mfG

Atlantik

Frieder aktiv_icon

02:10 Uhr, 19.01.2014

Danke,

den Ansatz mit dem 'verkappten' Differentialquotienten habe ich gesucht. Bin etwas eingerostet.

Gruß aus dem Großraum Detroit

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