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Normalparabel

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktionsgleichung, Normalparabel, Verschiebung

Matheigel aktiv_icon

13:36 Uhr, 20.10.2019

Hallo, ich habe eine Frage:
wie löst man die Aufgabe rechnerisch?

Der Graph der Normalparabel wurde so verschoben, dass sie die x-Achse an den Stellen 1 und 5 schneidet. Wie lautet die neue Funktionsgleichung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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rundblick aktiv_icon

13:50 Uhr, 20.10.2019

.
"dass sie die x-Achse an den Stellen 1 und 5 schneidet."

wie nennt frau die Stellen, bei denen eine Kurve die x-Achse schneidet ?

...

?
.

Matheigel aktiv_icon

14:46 Uhr, 20.10.2019

Das sind die Nullstellen

rundblick aktiv_icon

15:09 Uhr, 20.10.2019

.
"Das sind die Nullstellen "

JA .. und schön, Mathe-igel, dass du aus dem Winterschlaf kurz erwacht bist..

wenn du also die beiden Nullstellen

x_{1} = 1

und

x_{2} = 5

kennst:
welchen Ansatz für die Gleichung der Normalparabel mit diesen Nullstellen schlägst du nun vor ?

\to f (x) = ... .

.
.

anonymous

15:16 Uhr, 20.10.2019

Absolut keine schöne Möglichkeit, es auszurechnen, funktioniert dennoch:

f (x) = x^{2}

Du weißt, dass

x^{2}

nur eine doppelte Nullstelle bei

x = 0

hat. Das heißt, dass in dem Fall der Scheitelpunkt bei

x = 0

liegt.
Da wir nun zwei Nullstellen haben, sind wir gewilligt, die Normalparabel nach unten zu schieben und zusätzlich noch zur Seite.

Dafür brauchen wir Kenntnisse über folgende Funktion

f (x) = {(x \pm c)}^{2} \pm a

- c

sorgt dafür, dass die Normalparabel nach rechts verschoben wird,

- a

sorgt für eine Verschiebung nach unten. Also sind unsere Voraussetzungen bereits gefunden.

Nun suchen wir diese

c

und a Werte.

x, y

Werte haben wir. Das sind unsere Nullstellen

(1, 0)

und

(5, 0)

Jetzt stellen wir ein LGS aus

i) {(x + c)}^{2} - a = f (x)

ii)

{(x + c)}^{2} - a = f (x)

Hier setzen wir jetzt

x

und

f (x)

ein:

i) {(5 + c)}^{2} - a = 0

ii)

{(1 + c)}^{2} - a = 0

Binomische Formel:

i) 25 + 10 c + c^{2} - a = 0

ii)

1 + 2 c + c^{2} - a = 0

Jetzt subtrahieren wir von der zweiten Zeile die erste und erhalten

i) 25 + 10 c + c^{2} - a = 0

ii)

24 + 8 c = 0

Nun kannst du ii) nach

c

umstellen und erhältst

c = - 3

Eingesetzt in

i)

erhältst du

a = - 4

also hast du folgende Gleichung:

f (x) = {(x - 3)}^{2} - 4

Diese Gleichung erfüllt deine Anforderungen,

LG

supporter aktiv_icon

15:25 Uhr, 20.10.2019

oder so:

Der Scheitel liegt in der Mitte von 1 und

5,

also bei 3.

f (x) = (x - 3) + a

f (1) = f (5) = 0

0 = {(1 - 3)}^{2} + a

a = - 4

f (x) = {(x - 3)}^{2} + 4 = x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)

rundblick aktiv_icon

15:30 Uhr, 20.10.2019

.
Mann, da sind ja mal wieder grosse Könner am Werk
aber das lockt offensichtlich keinen Igel ans Licht..

und supporter:
bei

\to f (x) = (x - 3) + a \to

fehlt gar ein

^2

:-)

aber immerhin hast du das mühsame Gesabber von Looris96 kräftig zurechtgestutzt
nebenbei:
der jeweils verwendete Ansatz läuft schlicht unter dem Namen "Scheitelpunktsform der
Parabelgleichung" und ist nicht der genialste Zugang zu einer Parabelgleichung, wenn die
Nullstellen bekannt sind .. na ja, supporter ist ja dann immerhin am Schluss doch noch
irgendwie in die Linearfaktorzerlegung hineingestolpert..

so

- -

und warum konntet ihr Euer grossartiges Wissen nicht mehr zumindest so lange zurückhalten
bis Matheigel sich selber etwas überlegen konnte?
.

Matheigel aktiv_icon

15:59 Uhr, 20.10.2019

Vielen Dank für die Lösungswege.

Matheigel aktiv_icon

16:00 Uhr, 20.10.2019

Vielen Dank für die Lösungswege.

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