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Rechteckschwingung

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzfrequenz, Rechteckschwingung, Sinus, Steigung

Siddhartha- aktiv_icon

19:41 Uhr, 26.11.2013

Hallo.

Eine Rechteckschwingung kann quasie mit Sinusschwingungen unterschiedlicher Frquenzen nachgebildet werden. Je höher frequente Sinusschwingungen mit verwendet werden, je steiler kann die Anstiegsflanke der quasi Rechteckschwingung abgebildet werden.

Siehe auch:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_synthesis.svg

Mich interessiert nun der mathematische Zusammenhang zwischen der schnellsten Frequenz einer verwendeten Sinusschwingung und der maximal möglichen Steigung der Anstiegsflanke des quasi Rechtecksignal.

Interessant ist das bei gemessenen Signalen die danach digital gefiltert werden. Gewünscht ist eine unverfälschte Anstiegsflanke und es muss digital gefiltert werden. Vermutlich muss man mit der halben Grenzfrequenz des Filters rechnen, soll der Gradient der Anstiegsflanke erhalten bleiben.

Einen direkten mathematischen Zusammenhang zwischen dem maximal möglichen Gradienten der Anstiegsflanke und der Filtergrenzfrequenz habe ich noch nicht gefunden. Hat da jemand eine Lösung? Hätte ich eine Lösung, könnte ich die Grenzfrequenz eines Meßsystems so wählen, dass der erwartete Anstiegsgradient eines Meßsignals durch das Meßsystem bzw. den digitalen Filter nicht verfälscht wird.

Viele Grüße
Siddhartha-

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

09:20 Uhr, 27.11.2013

Eine Rechteckschwingung mit der Frequenz

f (ω = 2 \cdot π \cdot f)

und dem Scheitelwert

h

ergibt sich als unendliche Summe:

\frac{4 \cdot h}{π} \cdot (sin (ω \cdot t) + \frac{1}{3} \cdot sin (3 \cdot ω \cdot t) + \frac{1}{5} \cdot sin (5 \cdot ω \cdot t) + ...)

Wir betrachten eine Näherung bis

n

(ungerade!):

\frac{4 \cdot h}{π} \cdot (sin (ω \cdot t) + \frac{1}{3} \cdot sin (3 \cdot ω \cdot t) + \frac{1}{5} \cdot sin (5 \cdot ω \cdot t) + ... + \frac{1}{n} \cdot sin (n \cdot ω \cdot t))

Um die Steigung zu erhalten, muss man die Ableitung bilden:

\frac{4 \cdot h}{π} \cdot (ω \cdot cos (ω \cdot t) + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot ω \cdot cos (3 \cdot ω \cdot t) + ... + \frac{1}{n} \cdot n \cdot ω \cdot cos (n \cdot ω \cdot t))

Die Steigung ist am größten, wenn der Kosinus den Wert 1 annimmt, also etwa bei

t = 0 :

\frac{4 \cdot h}{π} \cdot (ω + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot ω + ... + \frac{1}{n} \cdot n \cdot ω)

Also ist die maximale Steigung

\frac{4 \cdot h \cdot (\frac{n + 1}{2}) \cdot ω}{π} = \frac{2 \cdot h \cdot (n + 1) \cdot ω}{π} = 4 \cdot h \cdot (n + 1) \cdot f

GRUSS, DK2ZA

Siddhartha- aktiv_icon

19:32 Uhr, 27.11.2013

Vielen Dank für die lehrreiche Antwort.

Die zweite Gleichung gab ich heute in Matlab ein und nahm an, dass das letzte Glied der Gleichung, sprich der schnellste Sinus, gleich der Grenzfrequenz eines Filters ist. So konnte ich nach der nummerischen Differentiation der Signale schön die

max

. möglichen Gradienten über den Grenzfrequenzen plotten.

Gelernt habe ich dabei, dass man die

max

. mögliche Steigung nur bei

t = 0

hat. Die Steigung nimmt nach oben ab, was ich jetzt erst realisierte. Das ist tückisch in der Meßtechnik. :-)

Genial wäre es jetzt noch, wenn man eine Unstetigkeit im Anstieg mit betrachten könnte. Hat man da mathematisch eine Chance? Ich vermute, man muss eine Unstetigkeit separat betrachten wenn sie höher frequent ist wie das Grundsignal und darauf die Grenzfrequenz eines Filters auslegen.

Viele Grüße
Siddhartha

DK2ZA aktiv_icon

09:19 Uhr, 28.11.2013

Die maximale Steigung tritt bei allen Nulldurchgängen auf, nämlich bei

t = 0, t = \frac{T}{2}, t = 2 \cdot \frac{T}{2}, t = 3 \cdot \frac{T}{2}, t = 4 \cdot \frac{T}{2}

usw. Allgemein bei

t = n \cdot \frac{T}{2},

wobei

T = \frac{1}{f} = \frac{2 \cdot π}{ω}

ist.

Die Sache mit der Unstetigkeit ist mir nicht klar. Elektrische Signale mit Unstetigkeiten gibt es nur näherungsweise und dann enthalten sie theoretisch unendlich hohe Frequenzen.

GRUSS, DK2ZA

Siddhartha- aktiv_icon

19:52 Uhr, 28.11.2013

Dass bei allen Nulldurchgängen die maximale Steigung ist, ist mir klar gewesen. Aber angenommen ich möchte ein ideales Rechtecksignal am Oszi messen und betrachte nur die ansteigende Flanke der ersten postiven Schwingung. Dann ist wegen der Grenzfrequenz des Oszis die Steigung des angezeigten Signals bei

t = 0

am größten und beim Erreichen der maximalen Amplitude des quasi Rechtecksignals am kleinsten. Daran dachte ich bisher nicht, dass die Steigung von

t = 0

bis zum Zeitpunkt des Erreichens der

max

. Amplitude abnimmt, auch wenn das zu messende Signal unendlich schnell ist.

Ist nun das zu messende Signal schon kein ideales Rechteck, sondern steigungsbehaftet, kann man die Steigung messen, wenn es die Grenzfrequenz des Oszis zu lässt. Ändert sich jedoch die Steigung im Anstieg des zu messenden Signals,

z

. B. im oberen Drittel, wird die Betrachtung schwierig.

Angenommen die ansteigende Flanke einer Schwingung steigt in

100

µs von 0 auf 1. Dann kann ich jetzt meit Deiner Formel die minimal notwendige Grenzfrequenz eines Oszis bestimmen, um das messen zu können. Aber angenommen die ansteigende Flanke einer Schwingung steigt in

70

µs auf

0,7,

dann in den nächsten 5 µs auf

0,9

und auf den restlichen

25

µs auf 1. Wie hoch muss dann die Grenzfrequenz sein?

Viele Grüße
Siddhartha

DK2ZA aktiv_icon

10:12 Uhr, 29.11.2013

"Angenommen die ansteigende Flanke einer Schwingung steigt in

100

µs von

0 V

auf

1 V

. Dann kann ich jetzt mit Deiner Formel die minimal notwendige Grenzfrequenz eines Oszis bestimmen, um das messen zu können."

\frac{1 V}{100 μ s}

ist die mittlere Anstiegsgeschwindigkeit während dieser

100 μ s

. Der Ausdruck

4 \cdot h \cdot (n + 1) \cdot f

ist aber die maximale Anstiegsgeschwindigkeit, welche am Anfang dieses Zeitraumes auftritt und diese ist größer. Außerdem gilt diese Beziehung nur für die durch Addition der Sinuskurven entstandenen speziellen Kurvenformen.

Betrachte

z . B

. einen trapezförmigen Spannungsverlauf, also linearer Anstieg in

100 μ s

auf

1 V,

dann konstante Spannung für

200 μ s,

dann wieder linearer Abstieg. So etwas kann man nicht als Summe einiger Sinuskurven darstellen, und zwar wegen des scharfen Knicks nach

100 μ s

. Scharfe Knicke erfordern immer unendlich viele Oberwellen.

"Aber angenommen die ansteigende Flanke einer Schwingung steigt in

70

µs auf

0,7,

dann in den nächsten 5 µs auf

0,9

und auf den restlichen

25

µs auf 1. Wie hoch muss dann die Grenzfrequenz sein?"

Dieser Spannungsverlauf hat nach

70 μ s

einen scharfen Knick. Um diesen einigermaßen realistisch darzustellen braucht man ein Oszilloskop mit sehr hoher Grenzfrequenz.

Bei guten Oszilloskopen kann man die Grenzfrequenz in mehreren Stufen umschalten und dabei beobachten, wie sich das auf die dargestellte Kurvenform auswirkt. Wenn sich bei Erhöhung der Grenzfrequenz die Kurve nicht mehr ändert, dann ist das Oszilloskop gut genug.

GRUSS, DK2ZA

Siddhartha- aktiv_icon

19:44 Uhr, 29.11.2013

Bei guten Oszilloskopen kann man die Grenzfrequenz in mehreren Stufen umschalten und dabei beobachten, wie sich das auf die dargestellte Kurvenform auswirkt. Wenn sich bei Erhöhung der Grenzfrequenz die Kurve nicht mehr ändert, dann ist das Oszilloskop gut genug.

Meßsignale können jedoch stark verrauscht sein und manchmal kann das technisch nicht so einfach geändert werden.

Ist nun ein Trapez mit einer minimalen Anstiegsflanke von

1 V

pro

100

µs technisch das Ziel und das Signal ist verrauscht, liegt es nahe digital zu filtern. Der Filter verschiebt jedoch das Signal zeitlich und flacht den Gradienten ab. Dann kann es schon sein, dass der reale Signalgradient 1V/100µs hat und man nur

1 \frac{V}{200}

µs misst. Dann experiementiert man weiter an einer Gradientenerhöhung, um das Ziel zu erreichen und das Problem ist im Kern das Rauschen und der daraus resultierende Filter. Könnte man nun mathematisch berechnen, dass man die Filterfrequenz nicht tiefer wie

x

Hz ansetzen darf, wenn man den Gradient von

y

bis zur Amplitude ya messen können möchte, wäre die Sackgasse kein Problem. Das ist das eine.

Das andere ist, wenn ein Signal mit zwei Gradienten gewünscht ist.

0,8 V

bis

90

µs und auf den restlichen

10

µs

0,2 V

. Dann hat man einen relativ scharfen Knick und die Grenzfrequenz müßte, wie Du sagst, nahezu unendlich hoch sein. Das ist nun richtig spannend. Nun verschieben digitale Filter das Grundsignal zeitlich, flachen die Gradienten ab, lassen aber die "Unstetigkeit"

z

. T. zeitlich an der richtigen Stelle. Da sieht man alles mögliche, nur nicht das wahre Signal. Könnte man nun ausrechnen, dass wenn man einen Filter mit einer Grenzfrequenz von

x

verwendet, Unstetigkeiten unter einer Zeitdauer von

y

µs nicht mehr betrachten kann, wäre das Problem auch erledigt.

Viele Grüße
Siddhartha

DK2ZA aktiv_icon

09:45 Uhr, 30.11.2013

Ich glaube nicht, dass es für dieses Problem eine exakte Lösung gibt. Man müsste mal bei HP nachfragen, wie die das beurteilen ;-) Vielleicht gibt's da ein "rule of thumb" ?

Übrigens: Ein Knick ist noch keine Unstetigkeit. Bei einer Unstetigkeit kann man die Kurve nicht mehr ohne abzusetzten mit dem Stift nachzeichnen. Bei einem Knick geht das schon, aber ihre Steigung ändert sich im Knick unstetig. Die Funktion ist also im Knick zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

GRUSS, DK2ZA

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