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Schnittpunkt Kurve und Gerade

Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Gerade, Kurve, Parabel, Schnittpunkt

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21:02 Uhr, 06.04.2013

Hallo,
geg:

g (x) = 3 x

f t (x) = \frac{1}{8} x^{4} - x^{3} + t x^{2}

ges:
Zeigen Sie, dass sich die Kurve von ft für

t = 2

und die Gerade

g

genau zweimal schneiden.

Mein Lösungsansatz wäre die Funktion

f

zu substituieren und dann mit der Geraden der Funktion

g

gleichzusetzen.

f 2 (x) = \frac{1}{8} x^{4} - x^{3} + 2 x^{2}

Allerdings habe ich schon hier ein Problem die Funktion zu substituieren aufgrund der geraden und ungeraden Exponenten.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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Geraden im Raum
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rundblick aktiv_icon

21:38 Uhr, 06.04.2013

"Zeigen Sie, dass sich die Kurve von ft für

t = 2

und die Gerade

g

genau zweimal schneiden.

f_{2} (x) = \frac{1}{8} x^{4} - x^{3} + 2 x^{2}

g (x) = 3 x

\to

also zunächst:

\Rightarrow

WIE rechnest du allgemein (erster Schritt) , wenn du überhaupt sehen willst,
ob zwei Kurven einander schneiden ?
dh: mit welchem Ansatz berechnest du mögliche Schnittpunkte?

\to . .

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21:49 Uhr, 06.04.2013

\to

gleichsetzen der beiden Funktionen?

3 x = \frac{1}{8} x^{4} - x^{3} + 2 x^{2}

rundblick aktiv_icon

21:56 Uhr, 06.04.2013

JA

also

\frac{x}{8} \cdot (x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24) = 0

SO - und wenn es - wie behauptet, NUR genau ZWEI Lösungen hat:

eine siehst du sicher sofort?

\to x_{1} = . .

\to

welchen Schluss kannst du dann für den nächsten Schritt machen?

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22:06 Uhr, 06.04.2013

\to x 1 = 0

Gibt es beim nächsten Schritt 3 weitere Lösungen ?

rundblick aktiv_icon

22:15 Uhr, 06.04.2013

Gibt es beim nächsten Schritt 3 weitere Lösungen ?

hm..

eine kubische Gleichung hat höchstens drei und mindestens eine Lösung

deine verbleibende Gleichung sieht ja so aus:

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24 = 0

und nun kannst du dir mal überlegen, wieviele Lösungen diese
Gleichung wohl haben wird, wenn die Behauptung richtig wäre :
dass Gerade und Kurve nur zwei Schnittpunkte haben ..
(einen Wert hast du ja schon..)

\to

WAS MUSST DU NUN ALSO NOCH BEWEISEN?

\to

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22:24 Uhr, 06.04.2013

Okay in dem Fall, sollte die Behauptung stimmen:
gibt es noch eine weitere Lösung

\to x 2 =

\to

Ich muss beweisen, dass

x

so gewählt werden kann, dass

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 27 = 0

ergibt?

rundblick aktiv_icon

22:35 Uhr, 06.04.2013

\to

nein nicht ganz richtig ..

du musst beweisen, dass deine kubische Gleichung nicht

3,

nicht

2,

SONDERN GENAU nur EINE LÖSUNG hat

und Achtung:
du hast die kubische Gleichung nicht ganz richtig notiert

\to

richtig sieht es so aus:

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24 = 0

und noch ein Tipp:
die einzige Lösung

x_{2}

dieser Gleichung wird ganzzahlig sein

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23:28 Uhr, 06.04.2013

Ich verzweifle leider an dieser Aufgabe...
Einziger möglicher Lösungsweg den ich dazu finden konnte war "raten"

\to x 2 = 6

rundblick aktiv_icon

23:45 Uhr, 06.04.2013

ja,

x_{2} = 6

aber das kannst du auch systematisch finden:

wenn es bei solchen Gleichungen eine GANZZAHLIGE Lösung gibt,
dann muss diese Teiler der freien Konstanten sein (Vieta lässt grüssen)

also: bei deinem Beispiel:

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24 = 0

muss - falls es eine ganzzahlige Lösung gibt, diese Teiler von

24

sein

also kannst du alle Teiler ausprobieren - und tatsächlich,
für den Teiler 6 ist die Gleichung erfüllt.

nun: mach eine kleine Polynomdivision , dann bekommst du

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24 = (x - 6) \cdot (x^{2} - 2 x + 4)

und jetzt kannst du sicher noch problemlos zeigen, dass es für
die quadratische Gleichung

x^{2} - 2 x + 4 = 0

KEINE reelle Lösung gibt

und damit weisst du, dass

x = 6

die einzige Lösung ist von

x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 24 = 0

und damit hast du bewiesen, dass deine Gerade

g (x)

die Kurve

f_{2} (x)

nur in genau zwei Punkten

A (0; 0)

und

B (6; 18)

schneidet..

fertig

ok?

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23:55 Uhr, 06.04.2013

Danke für deine Hilfe und deine Geduld

=)

Ich werde es nochmals genau durchgehen...

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