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Stetige Funktion hat Fixpunkt (Beweis)

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Tags: Differentiation, Fixpunkt, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Körper, Sonstig, Stetigkeit

 
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Thisnu

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23:51 Uhr, 19.06.2018

Antworten
Guten Abend, liebe Community :-)


Ich denke schon eine Weile über eine Aufgabenstellung nach und ich hänge bei einer Teilaufgabe fest. Ich hoffe, dass mir dabei geholfen werden kann.



Es geht um folgende Aufgabe:


(a) Seien a,b∈ℝ,a<b und f:[a,b]→[a,b] stetig. Zeigen Sie, dass f einen
Fixpunkt besitzt. D.h. ∃x0∈[a,b]:f(x0)=x0.

(b) Ist dies auch der Fall, wenn die Stetigkeit von f nicht vorausgesetzt wird?
Falls nicht, geben Sie ein Gegenbeispiel an.




Mein Ansatz dazu:


Vorüberlegung
____


f(x0)=x⇔f(x0)-x=0


x0 ist Fixpunkt von f⇔x0 ist Nullstelle von h(x):=f(x)-x


Um die Existenz einer Nullstelle zu beweisen, hilft der Zwischenwertsatz. Doch dafür müssen für h zwei Bedingungen erfüllt werden:



1)h ist stetig

2) Null ist ein Zwischenwert von h(a) und h(b)




Nun zum Beweis
____________


Sei f:[a,b]→[a,b] eine stetige Funktion id:[a,b]→[a,b]:x↦x. Wir definieren nun die Hilfsfunktion

h:[a,b]→ℝ:x↦h(x)=f(x)-x



Wir wissen:

f ist nach Voraussetzung stetig


id:[a,b]→[a,b]:x↦x ist stetig, weil x ein Monom ist und nach 5.21a) Monome und Polynome stetig sind.


Wir wissen auch, dass die Differenz zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist (nach 5.20a))


⇒h:[a,b]→ℝ:x↦h(x)=f(x)-x ist stetig.


Da f(a),f(b)∈[a,b] sind, gilt: f(a)≥a und f(b)≤b

⇒g(a)=f(a)-a≥0 und g(b)=f(b)-b≤0

Somit ist Null ein Zwischenwert von h(a) und h(b)



Nach dem Zwischenwertsatz, gilt somit: ∃x0∈[a,b]:g(x)=0⇔f(x)-x=0⇔f(x)=x


q.e.d





Kann man das so beweisen, oder habe ich logische Denkfehler? Stimmt auch die Formalität soweit? Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar.







zu b)


Da weiß ich nicht, wie ich herangehen soll. Ich muss also eine nicht-stetige Funktion finden, die kein Fixpunkt hat? Aber wie finde ich so eine Funktion?


Ich bedanke mich schon mal im Voraus


Liebe Güße
Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:40 Uhr, 20.06.2018

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Hallo,

das ist soweit in Ordnung, bis auf Schreibfehler. Du verwendest g und h, was aber doch dasselbe sein soll. In der letzten Zeile beginnst Du mit ∃x0 und schreibst dann nur noch x .

Gruß pwm
Thisnu

Thisnu aktiv_icon

15:56 Uhr, 20.06.2018

Antworten
Danke für deine Antwort!

Wäre mein Beweis nun jetzt richtig? (Damit ich das mit reinem Gewissen abhaken, kann^^)



Beweis
_____


Sei f:[a,b]→[a,b] eine stetige Funktion id:[a,b]→[a,b]:x↦x. Wir definieren nun die Hilfsfunktion

h:[a,b]→ℝ:x↦h(x)=f(x)-x



Wir wissen:

f ist nach Voraussetzung stetig


id:[a,b]→[a,b]:x↦x ist stetig, weil x ein Monom ist und nach 5.21a) Monome und Polynome stetig sind.


Wir wissen auch, dass die Differenz zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist (nach 5.20a))


⇒h:[a,b]→ℝ:x↦h(x)=f(x)-x ist stetig.


Da f(a),f(b)∈[a,b] sind, gilt: f(a)≥a und f(b)≤b

⇒h(a)=f(a)-a≥0 und h(b)=f(b)-b≤0

Somit ist Null ein Zwischenwert von h(a) und h(b)



Nach dem Zwischenwertsatz, gilt somit: ∃x0∈[a,b]:h(x0)=0⇔f(x0)-x0=0⇔f(x0)=x0


q.e.d




Kannst du mir vllt ein Tipp für die b) geben? Also wie man so eine Funktion konstruiert?




Liebe Grüße
Tim