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Summe zweier Exponentialfunktionen: Nullstellen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: berechnen, Exponentialfunktion, Nullstellen

torteloni- aktiv_icon

21:07 Uhr, 21.03.2010

Hey Leute,

die Frage ist einfach: Wie kann man von folgender Funktion die Nullstellen berechnen:

f (x) := 24 - 18 \cdot e^{- 0, 2 \cdot t} - 6 \cdot e^{0, 2 \cdot t}

Die Nullstellen lauten

x_{1} = 0

x_{2} = 5 \cdot l n (3)

. Das nachzuprüfen ist natürlich sehr leicht, durch raten findet man diese Lösungen auch früher oder später. Die Substitution

t = 5 \cdot l n (s)

liefert auch das Ergebnis, steht im Grundkurs jedoch nicht zu Verfügung. Geht es irgendwie ohne dies?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
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michael777 aktiv_icon

21:14 Uhr, 21.03.2010

mit

e^{0,2 t}

multiplizieren, dann substituieren mit

z = e^{0,2 t}

f (x) = 0

24 - 18 e^{- 0,2 t} - 6 e^{0,2 t} = 0

24 e^{0,2 t} - 18 - 6 {(e^{0,2 t})}^{2} = 0

z = e^{0,2 t}

- 6 z^{2} + 24 z - 18 = 0

z^{2} - 4 z + 3 = 0

. .

z_{1} = 3 \Rightarrow e^{0,2 t} = 3 \Rightarrow t

=5ln(3)

z_{2} = 1 \Rightarrow e^{0,2 t} = 1 \Rightarrow t = 0

BjBot aktiv_icon

21:15 Uhr, 21.03.2010

Der Weg über Substitution ist Stoff der 9. oder 10. Klasse und kann somit problemlos in der Oberstufe vorausgesetzt werden.
Allerdings würde ich hier

e^{0.25 t} = s

substituieren, was dann im Endeffekt zu einer quadratischen Gleichung führt.

torteloni- aktiv_icon

22:00 Uhr, 21.03.2010

Danke euch beiden! Nach Multiplikation mit

e^{0, 2 \cdot t}

ist der Fall wirklich klar, das hatte ich nicht gesehen. Die einzige Substitution die in Berlin gelehrt werden muss (was an unserer Schule leider auch durchgeführt wird) ist die

x^{2} = z

. Die wird dann einmal behandelt, danach hat man damit allerdings nichts mehr am Hut.

Aber wie gesagt: Die Erklärung mit der vorherigen Multiplikation ist sehr einleuchtend, werde ich auch verwenden; das klappt schon irgendwie. Danke nochmal.

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