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Tangente am Kreis bestimmen

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Kreis, Schnittpunkt, Tangente

DerSchueler aktiv_icon

00:13 Uhr, 04.06.2009

Hallo,

Gegeben ist der Kreis um

M (4; 4)

mit dem Radius 5. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente

t

im Punkt

B (1; 8)

. Zeigen Sie, dass

t

den Kreis

{(x_{1} - 8)}^{2} + {(x_{2} - 6)}^{2} = 16

nicht berührt oder schneidet.

Die Kreisgleichung:

k : {(x_{1} - 4)}^{2} + {(x_{2} - 4)}^{2} = 25

Die Tangentengleichung müsste ja t(x)=mx+n sein.

Könnt ihr mir helfen auf die Tangente zu kommen?
Nachweisen, dass sich der andere Kreis nicht mit der Tangente schneidet, bekomme ich dann selber hin;-)

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
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Edddi aktiv_icon

08:16 Uhr, 04.06.2009

...jau.. die Tangentengleichung ist mx+n wobei

m,

der Antieg, ja normalerweise aus der Ableitung gebildet wird.

Dies ist hier

z ⋃

umständlich.

Skizziere dir den Kreis in eien Koordinatensystem.

Bei

x = 1

ist

y = 8

(der Berührungspunkt der Tangente)

Vom Mittelpunkt bis zum Berührungspunkt sind es 5 (Radius)

Jetzt vom Mittelpunkt waagerecht 3 nach links (x=1)...jetzt bist du geneu unter dem Berührungspunkt und immer noch bei y=4...da der Berührungspunkt bei

y = 8

liegt haben wir eine Höhe von

4 .

Wir haben also ein rechtw. Dreieck, dessen oberer Winkel (am Ber.-punkt) identisch ist mit dem Winkel der Tangente....

Also:

m = \frac{3}{4}

Wir haben also

T (x) = \frac{3}{4} \cdot x + n

Hier unseren gegebenen Punkt

(1,8)

einsetzen:

8 = \frac{3}{4} \cdot 1 + n

und so ist:

n = \frac{29}{4}

und somit:

T (x) = \frac{3}{4} \cdot x + \frac{29}{4}

Für einen Berührungs- oder Schnittpunkt muss die Tangentenfunktion und die 2. Kreisgleichung eine gemeinsame Lösung haben.

Ich setze

T (x)

also in die 2. Kreisgleichung ein.

{(x - 8)}^{2} + {(T (x) - 6)}^{2} = 16

{(x - 8)}^{2} + {(\frac{3}{4} \cdot x + \frac{29}{4} - \frac{24}{4})}^{2} = 16

{(x - 8)}^{2} + {(\frac{3}{4} \cdot x + \frac{5}{4})}^{2} = 16

x^{2} - 16 \cdot x + 64 + \frac{9}{16} \cdot x^{2} + \frac{15}{8} \cdot x + \frac{25}{16} = 16

\frac{25}{16} \cdot x^{2} - \frac{226}{16} \cdot x + \frac{1049}{16} = 16

25 \cdot x^{2} - 226 \cdot x + 1049 = 256

x^{2} - \frac{226}{25} \cdot x + \frac{1049}{25} - \frac{256}{25} = 0

x^{2} - \frac{226}{25} \cdot x + \frac{793}{25} = 0

{(x - \frac{226}{50})}^{2} - {(\frac{226}{50})}^{2} + \frac{793}{25} = 0

{(x - \frac{226}{50})}^{2} - [{(\frac{226}{50})}^{2} - \frac{793}{25}] = 0

Da der Klammerterm

[{(\frac{226}{50})}^{2} - \frac{793}{25}]

negativ ist, gibt's keine Lösung...und damit auch kein Schnitt- oder Berührungspunkt der Tangente mit dem 2. Kreis

;-)

DerSchueler aktiv_icon

10:15 Uhr, 04.06.2009

Hallo,

vielen Dank für deine Mühe und Hilfe.
Das Überprüfen, ob Tangente und Kreis sich schneiden hätte ich auch selber hinbekommen, da ich dafür nur einen Befehl benötige.

Vielen Dank nochmal, dass ich jetzt auch Tangenten bilden kann :-)

BjBot aktiv_icon

10:32 Uhr, 04.06.2009

Kurze Variante um zu zeigen dass t eine Passante an den Kreis ist durch HNF der Geraden:

\frac{∣ - 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 - 29 ∣}{5} = \frac{29}{5} > 4

oder etwas länger durch Schnitt der Normalen n bzgl t durch M(8|6)
Entfernung von Schnittpunkt zu M(8|6) sollte dann größer als 4 sein (wie oben)

Nochmal die Tangente in die Kreisgleichung einsetzen und alles auszurechnen kostet sauviel Zeit und dieser Aufgabenteil ist sicher NICHT so gedacht.

DerSchueler aktiv_icon

10:36 Uhr, 04.06.2009

Meine Kurzform sieht so aus:

Gleichungssystem:

- 3 x + 4 y = 29

{(x - 8)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16

Da dort kein Ergebnis (No Solution) herrauskommt, gibts keine Schnittpunkte

BjBot aktiv_icon

10:40 Uhr, 04.06.2009

Und so darfst du es dann auch in der Klausur machen ?
Trotzdem ist mein Weg noch schneller, denn eh du den Kram eingetippt hast hab ich schon längst die Lösung :-P)

DerSchueler aktiv_icon

14:50 Uhr, 04.06.2009

ja, weil wir an einem Pilotprojekt teilnehmen und CAS Systeme haben (Casio ClassPad 300Plus)
Dafür müssen wir davor "in Worten" schrieben was wir machen.
Dadurch fällt das rechnen weg, was ich persönlich sehr schade finde.

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