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Tangentensteigung mit Limes berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Steigung der Tangente

Steigung der Tangente in einem Punkt

Tags: Grenzwert, lim, Punkt, Steigung, Tangenet, Tangente, Tangentensteigung

anonymous

17:26 Uhr, 04.10.2013

Hallo,

Ich sitze hier gerade an der Hausaufgabe und komme überhaupt nicht weiter.

Aufgabe: Gegen ist die Funktion

f (x) = \frac{3}{x}

Aufgabe

a :

Berechnen Sie die lokale Änderungsrate von

f

an der Stelle

x 0 = 2

Nun bin ich durch einiges googlen, suchen im Forum nicht schlauer geworden. Wir berechnen die Steigung im Moment als Grenzwert mit dem Limes, jedoch weiß ich nicht wie ich das bei dieser Aufgabe machen soll, bis jetzt habe ich:

m (x 0) = lim_{x \to x 0} \frac{f (x) - f (x 0)}{x - x 0}

m (2) = lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{3}{x} - 1,5}{x - 2}

jetzt könnte ich mir

x

multiplizieren damit ich den Bruch im Zähler weg bekomme aber danach weiß ich auch nicht machen soll...ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ebene Geometrie - Einführung
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen

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f' (x)

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\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

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herbert1 aktiv_icon

17:38 Uhr, 04.10.2013

Betrachte den Grenzwert für

\frac{f (2 + h) - f (2)}{(2 + h) - 2}

bzw.

für

\frac{f (2 - h) - f (2)}{(2 - h) - 2}

(jeweils

h

gegen

0)

d . h

. Du schaust Dir den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert an.

Diese müssen existieren und übereinstimmen.

anonymous

17:58 Uhr, 04.10.2013

Ok, ich verstehe nicht wie ich das in diesem Fall machen soll... wir haben dass nur komischweiße nie gemacht um die Steigung fest zu stellen wir haben das lediglich so gemacht um fest zu stellen ob es am Grenzwert einen VZW von

\frac{+}{-}

oder

\frac{-}{+}

gibt. Ich habe auch eine Lösung zu der Aufgabe die ich jedoch nicht verstehe, da wir das im Unterricht meiner Meinung immer anders gemacht haben.

PS:kann leider gerade keinen screenshot machen...mac Anfänger xD
PS2: finally made it :-)

herbert1 aktiv_icon

18:18 Uhr, 04.10.2013

Hallo, das ist der Ansatz den ich meinte.

Hast Du eine Vorstellung davon, was hier berechnet wird? Aus meiner Sicht ist es ganz wichtig, dass Du die Zusammenhänge verstehst.

mein Vorschlag:

zeichne die Bildkurve der Funktion

f

und wähle

den Punkt

P

auf der Bildkurve an der Stelle

x_{0} = 2

und dann wahlweise Punkte links und rechts auf diesem Graphen.
Zeichne dann die jeweiligen "Sekanten":
Das ist die Gerade, die durch den Punkt und den anderen von Dir gewählten zwieten Punkt geht.
(wähle unterschiedliche ("zweite") Punkte...)

Wenn Du Dich mit dem zweiten Punkt dem Punkt

P

an der Stelle

x_{0} = 2

näherst, dann erhälst Du letztendlich die Tangente, die durch den Punkt

P

geht. Und diese Tangente hat genau die Steigung

m = - \frac{3}{4}

.
Die Tangente berührt in der Umgebung von

x_{0} = 2

nur den Graphen, sie schneidet ihn nicht.

Die Steigung der Tangente ist der Wert, den Du über die Grenzwertbetrachtung erhälst.

anonymous

18:36 Uhr, 04.10.2013

Also normalerweiße habe ich mit Mathe überhaupt kein Problem (1,6er Note letztes Jahr) aber dieses mal hakt es einfach also ich habe jetzt mal 2 Sekanten berechnet, kein Problem:

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

\frac{f (2,1) - f (2)}{2,1 - 2} \approx \frac{1,43 - 1,50}{0,1} \approx - 0,71

\frac{f (1,9) - f (2)}{1,9 - 2} \approx \frac{1,58 - 1,50}{- 0,1} \approx - 0,79

Soweit so gut und jetzt müsste ich mich ja unendlich an

x = 2

annähern, die Frage ist nur wie?

herbert1 aktiv_icon

18:45 Uhr, 04.10.2013

Das geschieht über die Grenzwertbetrachtung

lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{2 + h - 2}

In Deinen ersten Beispiel hast Du

h = 0,1

gewählt

(x_{1} = 2,1)

.

Stelle Dir vor, dieses

h

wird immer kleiner gewählt; der zweite Punkt "wandert" auf der Bildkurve zu dem von mir eben bezeichneten Punkt P.

Rechnerisch ist der Weg in Deinem hochgeladenen Bild dargestellt.
Der Term wurde umgewandelt, so dass dann im Zähler und Nenner der Faktor

h

einmal gekürzt werden konnte.

letztendlich bleibt

lim_{h \to 0} (\frac{- \frac{3}{2}}{h + 2}) = lim_{h \to 0} (\frac{- 3}{2 (h + 2)}) = lim_{h \to 0} (\frac{- 3}{4 + 2 h})

stehen.
Und hieraus folgt dann

lim_{h \to 0} (\frac{- 3}{4 + 2 h}) = - \frac{3}{4}

Kannst Du genauer ausdrücken, was Du nicht verstehst?

Atlantik aktiv_icon

19:00 Uhr, 04.10.2013

lim_{x \to 2} \frac{\frac{3}{x} - 1,5}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{3 - 1,5 x}{x^{2} - 2 x}

Jetzt l´hopital, weil nach Einsetzen von 2 das Ergebnis

\frac{0}{0}

herauskommt.

lim_{x \to 2} \frac{- 1,5}{2 x - 2} = - 0,75

mfG

Atlantik

anonymous

19:00 Uhr, 04.10.2013

Ok also das habe ich jetzt Verstanden, dann hat uns das unsere Lehrerin einfach etwas anders und in meinen Augen komplizierter erklärt.
Aber eins verstehe ich noch nicht wenn man sich die Lösung von meinem Bild anschaut, dann steht im Nenner nur

1 h,

bei ihnen (darf ich duzen? :-D) ) steht da jedoch

2 + h - 2

was für mich auch sinn macht.

Was muss da jetzt stehen oder ist am Ende gar beides richtig?

herbert1 aktiv_icon

19:12 Uhr, 04.10.2013

Hallo,

klar, darfst Du duzen :-)

schön, dass Du es nun verstehst...

Der Quotient wird gebildet aus:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

(Das kennst Du vielleicht auch unter dem Begriff "Steigungsdreieck")

in unserem Beispiel ist

x_{1} = 2 + h

und

x_{0} = 2

Ich betrachte jetzt nur einmal den Nenner:
Dann gilt für den Nenner:

x_{1} - x_{0} = 2 + h - 2 = h

Deine Lehrerin hat das Ergebnis vorweggenommen.

Häufig wird festgelegt, dass

h > 0

sein soll.
In dem Fall muss man den rechtsseitigen Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{2 + h - 2}

und den linksseitigen Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{f (2 - h) - f (2)}{2 - h - 2}

berechnen.

Wenn die Grenzwerte existieren und gleich sind, nur dann und genau dann läßt sich die Steigung an der Stelle

x_{0} = 2

eindeutig bestimmen,

man sagt dann auch: die Funktion ist an dieser Stelle differenzierbar.

Beantwortet das Deine Frage?

anonymous

19:16 Uhr, 04.10.2013

Danke die Erklärung wann der Grenzwert definiert ist steht in unserem Heft ich war gerade einfach zu blöd um zu verstehen, dass:

2 + h - 2 = h

ist. Da hab ich hier schon zu viel probiert, dass ich auf so was einfaches komm :-D)

Ich denke nun habe ich es verstanden, dann kann ich es den anderen 5 die mich gefragt haben ob ich weiß wie es geht nun auch erklären, Danke!

Super Erklärt!

Mit freundlichen Grüßen,

Maurice

herbert1 aktiv_icon

19:20 Uhr, 04.10.2013

freut mich...

. .

. auch Deine positive Rückmeldung :-)

Viel Erfolg und Spaß weiterhin!

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