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Trigonometrische Gleichungen lösen

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Tags: Funktion, Gleichungen, Trigonometrische Funktionen, Trigonometrische Gleichung

michi9595 aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.07.2016

Hi,
Noch eine Frage, vermutlich die letzte für dieses Semester :-)

3 \cdot sin (2 x) + 4 \cdot cos (x) = 2,5

Wie kann ich diese Gleichung lösen? Ich komm einfach nicht drauf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

21:17 Uhr, 19.07.2016

⋆ ⋆ \cdot

Atlantik aktiv_icon

22:01 Uhr, 19.07.2016

1 .) sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

2 .)

trigonometrischer Pythagoras

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

22:10 Uhr, 19.07.2016

3⋅sin(2x)+4⋅cos(x)=2,5

"Wie kann ich diese Gleichung lösen?"

ich glaube nicht, dass

d u

die lösen kannst ..

in welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe gefunden ?

falls du die Aufgabe RICHTIG ? notiert hast

(\to

SCHAU DAS ERST MAL NACH

!)

(wenn ja-> ) dann wird eine algebraische Lösung vermutlich nicht möglich sein.
na ja, warten wir halt mal noch ab, was der grosse Atlantik anschwemmt ..

also wirst du versuchen müssen, die Nullstellen von

\to f (x) =

3⋅sin(2x)

+

4⋅cos(x)

- 2,5

mit einer geeigneten Näherungsmethode aufzuspüren ..

und wohl fündig werden in der Gegend
von

\to x_{1} = - 0,24

von

\to x_{2} = + 1,32

und dann gibt es noch beliebig viele weitere
Lösungen mit einer gewissen periodischen Wiederholung ..

ok?

Roman-22

22:12 Uhr, 19.07.2016

Atlantiks Tipp führt leider auf eine Gleichung vierten Grades in

cos x!

Das war genau der Grund, warum ich meine Erstantwort zurückgezogen hatte.
Diese Gleichung vierten Grades hat zwei komplexe Lösungen und zwei reelle. Auf letztere den arccos angewandt muss man dann noch die jeweils ungültigen Lösungen aussortieren.

Dieses Aussortieren erspart man sich, wenn man die Weierstrass-Substitution

t = tan (\frac{x}{2})

anwendet

\to

de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution
Aber auch hier kommt man auf eine Gleichung vierten Grades in

t,

nämlich

13 t^{4} + 24 t^{3} + 10 t^{2} - 24 t - 3 = 0

. Auch hier gibts wieder nur zwei reelle Lösungen und mit

x = 2 \cdot a r c t a n t

kommt man ebenfalls auf die Lösungen

x_{1} = 1,3128847771 + k \cdot 2 π

und

x_{2} = - 0.2400022913 + k \cdot 2 π

jeweils mit

k \in ℤ

Welche Hilfsmittel darfst Du für die Lösung verwenden?
Mag sein, dass eine geschickte trickreiche Substitution, die ich im Moment nicht sehe, das Problem einfacher zu lösen imstande ist.

R

michi9595 aktiv_icon

22:13 Uhr, 19.07.2016

Ups. Sieht so aus, als wäre unserem Tutor beim Anschreiben oder mir beim Abschreiben ein Fehler unterlaufen.
Hilfsmittel nur W-TR und Formelsammlung.
Vielen Dank für die Antwort!

Roman-22

22:16 Uhr, 19.07.2016

>

Wie muss ich das umformen?
Du setzt

sin x = \sqrt{1 - {cos}^{2} x}

und löst dann die Wurzelgleichung in

cos x

.
Wie oben schon gesagt, kommst du auf eine Gleichung 4. Grades, die du vermutlich nur mit Technologiehilfe lösen kannst.

Etwas geradliniger finde ich den Ansatz mit der Weierstraß-Substitution. Siehe meine vorherige Antwort.

Deutlich einfacher wäre die Aufgabe, wenn wir anstelle von

sin (2 x) cos (2 x)

stehen hätten oder wenn anstelle der

2,5

eine 0 steht. Daher auch von mir die Frage, ob die Angabe sicher so lautet, wie von dir angegeben und in welchem Kontext sie steht, welche Hilfsmittel du verwenden darfst, etc.

R

abakus

22:18 Uhr, 19.07.2016

Bedenke, dass

s i n (x) = \sqrt{1 - c o s ² (x)}

(oder je nach Lage auch

s i n (x) = - \sqrt{1 - c o s ² (x)}

) gilt.
Damit kannst du den Sinus ersetzen. Dann wirst du nicht umhin kommen, zum Beseitigen der Wurzel später auch mal zu quadrieren.
Dann passiert zwangsläufig das, was Roman schon sagte.
DAS IST NICHT ELEMENTAR LÖSBAR.

rundblick aktiv_icon

22:25 Uhr, 19.07.2016

.
" Ups. Sieht so aus, als wäre unserem Tutor beim Anschreiben