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Volumen der Kugel mit integral

Schüler Gesamtschule,

Tags: Integral, Kugel, volum

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13:10 Uhr, 05.03.2013

Hallo ich versuche die Volumsformel für die Kugel mithilfe der Integralrechnung herzuleiten! Komme aber nicht weiter!

Hier mein Ansatz:

x^{2} + y^{2} = r^{2} \to y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

V = π \cdot \int

(obere grenze

2 r

untere

0) y^{2}

v = π \cdot \int r^{2} - x^{2} d x

v = π \cdot r^{2} - \frac{x^{3}}{3}

= π . r^{2} - \frac{2 \cdot r^{3}}{3}

Wo ist der fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

13:15 Uhr, 05.03.2013

In der Stammfunktion muß es anstatt

r^{2} .

r^{2} x

heißen.

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13:19 Uhr, 05.03.2013

danke!! jz is mir alles klar!

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13:20 Uhr, 05.03.2013

Alles klar???
Deine Integrationsgrenzen stimmen aber auch nicht!

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13:23 Uhr, 05.03.2013

Aber das Ergebnis stimmt?

π \cdot r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3}

dann setz ich die obere Grenze

2 r

ein

π \cdot 2 \cdot r^{3} - \frac{2 \cdot r^{3}}{3}

V = π \cdot \frac{4}{3} \cdot r^{3}!

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13:26 Uhr, 05.03.2013

Das möchte ich auch mal schaffen: Trotz falscher Rechnung das richtige Ergebnis!

Da fehlen Klammern, hauptsächlich bei

{(2 r)}^{3}

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13:31 Uhr, 05.03.2013

V = 2 π \int_{r}^{0} ~ (r^{2} - x^{2}) ~ d x = {[r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{r}

V = 2 π (r^{3} - \frac{r^{3}}{3}) = 2 π (2 \frac{r^{3}}{3}) = 4 r^{3} \frac{π}{3}

so wärs richtig? aber warum 2pi? und warum die grenze nur von

0 - r

?
Wenn ich mir einen Halbkreis aufzeichne und ihn um die X-Achse rotieren lassen, dann würden bei mir die Grenzen von

0 - 2 r

gehen?

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13:34 Uhr, 05.03.2013

2 \cdot π

stimmt auch nicht. Wieder sehr kreativ von Dir!

x^{2} + y^{2} = r^{2}

ist ein Kreis um den Nullpunkt mit Radius

r

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

ist der obere Halbkreis davon.
Zwischen welchen Grenzen muss dieser jetzt um die x-Achse rotieren?

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13:36 Uhr, 05.03.2013

- r

und r?

Matlog aktiv_icon

13:37 Uhr, 05.03.2013

Perfekt!
Oder von 0 bis

r

und die Halbkugel verdoppeln.

Gwunderi aktiv_icon

14:53 Uhr, 05.03.2013

Habe das

2 π

so verstanden, dass man die doppelte Fläche nehmen muss, weil die Ingtegrationsgrenzen von 0 bis r angegeben sind?

Tolle Aufgabe, habe sogar alles nachvollziehen können :-)))

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