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Warum ist der Grenzwert gleich negativ unendlich

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Grenzwert, Wurzel

JohnnyMath aktiv_icon

17:39 Uhr, 11.07.2016

Hallo,

ich wette es ist elementar aber ich verstehe Folgendes nicht:

Ich betrachte den Grenzwert

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

für

x \to 0

. Für

x > 0

ist klar, dass der Grenzwert gleich plus unendlich ist. Für negative Zahlen ist er negativ, aber ich verstehe nicht warum. Wenn

x < 0

ist, dann kann ich doch den Ausdruck zerlegen in entweder

\frac{1}{(x^{2})^{\frac{1}{3}}}

oder in

\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}})^{2}}

. Bei dem ersten Ausdruck wird die dritte Wurzel aus einer positiven Zahl gezogen und beim zweiten Ausdruck wird eine negative Zahl quadriert.

Wo ist mein Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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rundblick aktiv_icon

18:35 Uhr, 11.07.2016

.
"..Für negative Zahlen ist er negativ,.."

\to

und wer behauptet denn sowas ??

.

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18:42 Uhr, 11.07.2016

www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x%5E(2%2F3))

JohnnyMath aktiv_icon

18:49 Uhr, 11.07.2016

Also die Frage kommt insgesamt aus der Überlegung, dass

f (x) = x^{\frac{1}{3}}

nicht in Null differenzierbar sein soll. Daraus habe ich geschlossen, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten also

lim_{h \to 0} \frac{f (h)}{h}

unterschiedlich sein muss, wenn man von links und rechts gegen Null läuft.

EDIT: Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden. Vorzeichenfehler bei Differenzenquotienten ! Also stimmt meine obige Überlegung und der Grenzwert ist immer positiv?

Roman-22

18:55 Uhr, 11.07.2016

\frac{x^{1}}{3}

und auch

x^{- \frac{2}{3}}

ist eben im Reellen nur für

x \geq 0

definiert!

@supporter:

> >

→ und wer behauptet denn sowas ??

>

www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x%5E(2%2F3))
Wirklich? Ich weiß nicht, was du daeingegeben hast, aber ich sehe bei Onkel Wolfram das:
Lim4

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19:00 Uhr, 11.07.2016

"ist eben im Reellen nur für x≥0 definiert!"

Warum ist das so? Ich stehe auf demselben Schlauch wie Johnny?
Warum klappt das hier mit den anderen Schreibweisen nicht?

JohnnyMath aktiv_icon

19:02 Uhr, 11.07.2016

@ Roman-22

Jetzt bin ich verwirrt. Anhand deines Plots sieht man doch den blauen (reellen) Graph, der für positive Werte nach plus unendlich und für negative Werte nach minus unendlich verschwindet. Was stimmt denn nun?

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 11.07.2016

1) \to

du musst halt dein AlphaTier richtig verstehen lernen :

\to

es ist

\to (- \sqrt[3]{- 1}) = (- (- 1)) = + 1

also auch

lim_{x \to 0^{-}} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] = + \infty

2)

und dazu:
"

x^{\frac{1}{3}}

und auch

x^{- \frac{2}{3}}

ist eben im Reellen nur für x≥0 definiert! "

Roman-22 :

\to x^{- \frac{2}{3}}

ist für

x = 0

überhaupt nicht definiert

!!

\to

und

x^{\frac{1}{3}}

ist für alle

x \in R

definiert ..

Beispiel : die Gleichung

x^{3} = - 1

hat drei Lösungen

x \in C

und eine
davon ist die rein reelle Zahl

x = - 1 = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} .

. usw..

.

Apilex aktiv_icon

19:57 Uhr, 11.07.2016

roman hat trozdem recht( natürlich

x < 0

für

x^{- \frac{2}{3}}

die

x \leq

war für

x^{\frac{1}{3}}

gemeint) die Wurzel ist in

ℝ

nur für

x \leq 0

definiert weil die Wurzel sonst nicht eindeutig wäre

- 1 = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{6}} = 1

auch wenn eine scheinbare schöne Lösung für ungerade Wurzel herauskommt bezieht mann die Reele n-Wurzel auf exp(log(x)/n) und der Logarythmus ist nicht definiert für

x < 0

im reelen

ebenfalls ist die Umformung

x^{\frac{m}{n}} = {(x^{m})}^{\frac{1}{n}}

nicht definiert für

n \neq 1

da sonst
Bsp.

(- 1) = {(- 1)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{2}} = {({(- 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{{(1)}^{1}}{2} = 1

im reelen gelten würde was schwachsin wäre deshalb diese Definitionen

zu der Aufgabe

\to

denk einfach mal darüber nach ob überhaupt der limes existiert wenn

lim_{x \to a}

(term)

= \infty \to

geht viel einfacher musst dann garnicht über rechts oder linkseitigen limes nachdenken

JohnnyMath aktiv_icon

20:02 Uhr, 11.07.2016

@ Apilex : Natürlich du hast Recht. Ich habe völlig missachtet, dass der Grenzwert tatsächlich existieren muss und unendlich damit nicht zugelassen ist. Danke !

Roman-22

20:30 Uhr, 11.07.2016

>

→x−23 ist für

x = 0

überhaupt nicht definiert

!!

touché. Da war ich in Gedanken natürlich bei

x^{\frac{1}{3}}

und

x^{\frac{2}{3}}

udgl., um deren Definition es ja geht.

>

→ und

x 13

ist für alle x∈R definiert ..
Nein!
>Beispiel : die Gleichung x3=−1 hat drei Lösungen x∈C und eine

>

davon ist die rein reelle Zahl x=−1=(−1)13.. usw..
Und zu dieser rein reellen Zahl kommen wir formal nur durch einen kleinen Spaziergang in

ℂ

.

Man kann sich, wenn man

a^{b}

auf

b \in ℚ

oder

b \in ℝ

erweitert, nicht einfach bei

b

auf Stammbrüche mit ungeradem Nenner beschränken.
Wenngleich gerade unter Technikern genau für diese Fälle die Beschränkung auf "the real‐valued root" sehr beliebt ist.

R

Roman-22

20:39 Uhr, 11.07.2016

@JohnnyMath
>Jetzt bin ich verwirrt. Anhand deines Plots sieht man doch den blauen (reellen) Graph, der für positive Werte nach plus unendlich und für negative Werte nach minus unendlich verschwindet.

Du hast dabei nicht beachtet, dass der blaue Graph nur den Realteil des Hauptwerts der dritten Wurzel zeigt (der Hauptwert ist

i . W

. jener der drei Werte mit der kleinsten Phase). In Orange ist der Imaginärteil eingezeichnet, für

x > 0

ist der

0,

aber für

x < 0

eben nicht.

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