Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Was bedeutet k-fache Nullstelle und xo?

Was bedeutet k-fache Nullstelle und xo?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Nullstellen

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

16:14 Uhr, 11.10.2008

Guten Tag!

Ich habe folgendes, eigentlich ziemlich banales, Problem:

Ich habe zwei Jahre mit meiner Familie in Thailand gelebt, wo mich mein Vater privat unterrichtet hat, da er in Deutschland ebenso Lehrer war.

Nun sind wir wieder mittlerweile in Deutschland zurück und ich bin in der

12

.

Eigentlich klappt alles recht gut, jedoch habe ich verständlicherweise einige grundlegende Dinge verpasst.

Wir machen momentan Kurvendiskussionen und gebrochenrationale Funktionen, was ich eigentlich insgesamt recht leicht finde.

Dennoch weiß ich leider nicht, was man unter einer k-fachen Nullstelle versteht und was

x 1

und xo(also die 1 und die 0 unten rechts vom

x,

kann das hier per PC nicht schreiben) bedeuten?

Ich kenne zwar die allgemeingültigen Definitionen(wiki etc.), aber die Antworten helfen mir nicht richtig weiter und es erschließt sich mir einfach nicht.

Vielleicht kann mir ja jemand diese eigentlich recht leichten Fragen(denke ich) mit eigenen Worten beantworten.

Das wäre wirklich nett.

Danke,

die fragende Nora

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion III

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

MBler07 aktiv_icon

17:07 Uhr, 11.10.2008

Hi

Dann herzlich willkommen zurück.

Ist wirklich recht einfach.

k-fache Nullstelle:
Es gibt eine Nullstelle

k

mal.
Soll heißen eine Nullstelle wird als zwei-, drei-, vier-,...,k-facch angesehen.

Beispiel:

f (x) = x^{3} = x \cdot x \cdot x \to f (x) = 0 \to x^{3} = 0 \to x = 0

Offensichtlich gibt es nur eine Nullstelle. Da diese aber an drei verschiedenen Stellen auftauchen kann, bezeichnet man sie als dreifache Nullstelle.
Du kannst damit Aussagen über den Graph der Funktion machen (je nachdem wie vielfach die Nullstelle ist).

x_{1}

und

x_{0}

Letztendlich werden damit verschiedene x-Werte bezeichnet. Manchmal haben sie auch spezielle Bedeutung, hängt aber vom Thema ab.
Oft wird mit

x_{0}

eine spezielle Stelle des Graphen bezeichnet, die für eine Aufgabe wichtig ist. Oder auch eine Nullstelle. Oder ein Punkt:

P_{0} (x_{0} | y_{0}); P_{1} (x_{1} | y_{1}); . .

.

Jetzt verständlich?

Grüße

axmath aktiv_icon

17:57 Uhr, 11.10.2008

x0 ist k-fache Nullstelle von f wird in der Funktionentheorie wie folgt definiert:

f(x0)=0, f´(x0)=0, f´´(x0)=0,... $f^{(k - 1)} (x 0) = 0$ wobei der letzte Term bedeutet die

(k-1). Ableitung von f ist an der Stelle x0 gleich 0. Insgesamt sind also k Terme gleich 0.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

19:00 Uhr, 11.10.2008

Ok, vielen Dank erstmal euch beiden!!!

Habe es jetzt eigentlich verstanden.

Könnt ihr mir das vielleicht auch nochmal an folgenden Aufgaben erklären? Die haben wir hierzu erhalten und ich würde gerne sehen, ob ich hier den richtigen Ansatz verfolge:

1. Aufgabe: Es gibt die Funtion

f (x) = s \frac{x}{t} (x)

. Ist x1(also unten rechts) eine k-fache Nullstelle von

s (x

) und

t (x),

kann

x 1

keine Polstelle sein.

Wir sollen nun begründen, weshalb dem so ist.

2. Wenn

s (x 1) = 0

und

q (x 1) = 0

(siehe Funktion von Aufgabe

1),

dann ist

x 1

weder Pol- noch Nulstelle.

Hier sollen wir sagen, ob das so stimmt oder nicht. Aber ich bin mir eben nicht genau sicher, was in der Aufgabe gemeint ist. Heißt das, dass der Term

z . B

s (x)

einfach gleich null sein muss

z . B

(x - 1)

und dann

x = 1

? Ist

x 1

nicht näher definiert?
Wenn dem so wäre, stimmt die Annahme meiner Meinung nach ja nicht, da es bei(x-1)/(x-1)^2 sehr wohl eine Polstelle gäbe.

Ich hoffe, ich verstehe meine Frage bzw. meine Unwissenheit in Bezug auf die genaue Fragestellung...:S

MBler07 aktiv_icon

22:19 Uhr, 11.10.2008

1.
Da

x_{1}

bei beiden gleich oft Nullstelle, kürzt sich diese Definitionslücke weg, womit es keine Polstele mehr sein kann.

2.
Hast du selbst schon beantwortet.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

16:31 Uhr, 12.10.2008

Zu 1: Genau dazu wollte ich auch nochmal etwas nachfragen: Wie kann man nochmals genau testen, ob eine Definitionslücke hebbar ist oder nicht?
Sie ist hebbar, wenn der Zähler auch null ist, aber das doch nur in bestimmte Fällen, oder?

Beispiel:

\frac{x^{- 2} x - 3}{x^{2} - 1}

Hier ist

- 1

hebbar, da sowohl Zähler als auch Nenner hier null ergeben, oder? Aber wie begründe ich das in der Klausur? Be leichteren Aufgaben haben wir das immer durch Termumformungen dargestellt:

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = (x + 1) \frac{x - 1}{x - 1} = x + 1

(für

x

ungleich

1)

Zu 2. Ja, ich habe es mir im Prinzip selbst erklärt, bin aber immer noch nicht ganz sicher, ob

x 1

für

x = 1

oder für irgendeine Zahl steht. Hätte ich also auch

\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}

nehmen können?

MBler07 aktiv_icon

16:40 Uhr, 12.10.2008

1)

eine Möglichkeit ist die Faktorisierung und dann rauskürzen.
Alternativ kannst du auch eine Grenzwertbetrachtung benutzen. Ist der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen (aber nicht unenedlich) ist es eine Hebbare Dl.

2)

x_{1}

meint irgendeine Zahl. Eigentlich hätte auch

s (x) = q (x)

gereicht. Aber um zu zeigen, dass zwei gleiche Zahlen gemeint sind, haben sie eben noch einen Index dazugeschrieben.
Genausogut hätte da auch

x_{0}, x_{2}, a, u, . .

. stehen können.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

16:43 Uhr, 12.10.2008

2)

Ok, danke. Habe ich dann verstanden.
Wie kommt man dann auf die Funktion? Einfach ausprobieren, oder?

Zu

1)

Ja, faktorisieren...Wie sähe das denn bei der von mir genannten Aufgabe aus? Habe es mit Polynomdivision versucht und da kann ich es nicht wirklich auflösen...:S

Dennoch schon mal vielen Dank für dein Engagement!!!

MBler07 aktiv_icon

16:49 Uhr, 12.10.2008

2)

auf welche Funktion willst du denn kommen?
Das soll allgemein für alle Funktionen gelten, nicht nur für bestimmte.
Wobei du natürlich eine beliebige aufstellen kannst (wie du es gemacht hast), um zu zeigen, dass diese Aussage nicht richtig sein kann.

1)

Bei welcher Aufgabe?

\frac{x^{- 2} \cdot x - 3}{x^{2} - 1}

- 1

ist hier nicht hebbar. Hast du die Aufgabe richtig aufgeschrieben?

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

16:51 Uhr, 12.10.2008

2)

Ok, wir haben als Musterlösung

\frac{x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Darauf wollte ich kommen, aber du hast natürlich Recht. Ich kann da eine beliebige nehmen auf die es zutrifft. Ok, abgehakt.

1)

Sry, falsch aufgeschrieben, sie lautet:

\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 1}

MBler07 aktiv_icon

17:41 Uhr, 12.10.2008

Faktorisier erst den Nenner und mach dann Polynomdivision:

\frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x - 1) (x + 1)}

\to (x^{2} - 2 x - 3) : (x + 1) = . .

\to \frac{(x + 1) (x - 3)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 3}{x - 1}

Das ist halt was, was man erst durch viel Übung lernt.

Edit: Tippfehler korrigiert.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

18:44 Uhr, 12.10.2008

OK, vielen Dank.

Aber, wenn ich die Polynomdivision mache, erhalte ich irgendie folgendes:

→(x2-2x-3):(x-1)=

x - 1 - \frac{4}{x - 1}

Wie komme ich da weiter?

Dann hätte ich noch zwei weitere Fragen(Da du ziemlich gut erklärst, würde ich das dann ganz gerne abschließen), aber dann ist auch wriklich alles geklärt:

1. Wie gibt man bei der Kurvendiskussion von geborchenrationalen Funktion das Grenzwertverhalten an? Also wie schreibet man das auf? Wie man die Asymptote etc. bestimmt, ist mir klar, aber wie man es in einer Klausur festhält, nicht.

Als Beispiel:

f (x) = \frac{16}{{(x - 4)}^{2}}

Der Bruch geht gegen 0 und somit

y = 0

.
Aber wie schreibe ich das auf mit

lim

von

x = \infty

etc. ?

2. Aufgabe: Differenziere und vereinfach so weit wie möglich:

f (x) = {(5 x^{2} - 7 x)}^{- 2}

Mein Ergebnis

f (x) = \frac{- 20 x + 14}{{(5 x - 7)}^{3}}

Richtiges Ergebnis

f (x) = \frac{20 x - 14}{x^{3} \cdot {(7 - 5 x)}^{3}}

Hier habe ich irgendwie ein Brett vor dem Kopf und komme einfach nicht auf das richtig Ergebnis. Vielleicht könnte mir hier jemand per richtigem Rechenweg weiterhelfen.

Ich weiß, dass das sehr, sehr viele Fragen sind, aber ich habe eben noch einen gewissen Rückstand, tut mir leid :-)
Dir aber schonma generell vielen Dank, hast mir wirklich weitergeholfen. Danke!

MBler07 aktiv_icon

20:30 Uhr, 12.10.2008

Das war einfach nur ein Tippfehler von mir. Richtig heißt es:

(x^{2} - 2 x - 3) : (x + 1) = x - 3

Dann sollte es klar sein.

1)

Ich glaube nicht, dass man das irgendwie speziell aufschreiben muss. Da nur ein

x

vorkommt ist es schon offensichtlich, dass es gegen 0 geht.
Wenn du aber was schreiben musst:

lim_{x \to \infty} \frac{16}{{(x - 4)}^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{16}{{(x (1 - \frac{4}{x}))}^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{16}{x^{2} {(1 - \frac{4}{x})}^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{4}{x})}^{2}} = 0 \cdot 1 = 0

2)

f (x) = {(5 x^{2} - 7 x)}^{- 2}

f (x) = v^{- 2}

v = 5 x^{2} - 7 x \to v' = 10 x - 7

f' (x) = - 2 v^{- 3} \cdot v'

= - 2 {(5 x^{2} - 7 x)}^{- 3} \cdot (10 x - 7)

= \frac{- 2 \cdot (10 x - 7)}{{(5 x^{2} - 7 x)}^{3}}

= \frac{- 20 x + 14}{{(5 x^{2} - 7 x)}^{3}}

Den Rest mach ich noch um auf das Musterergebnis zu kommen. Ich halte es für unnötig

= \frac{- (20 x - 14)}{{(x (5 x - 7))}^{3}}

= \frac{- (20 x - 14)}{{(- x (7 - 5 x))}^{3}}

= \frac{- (20 x - 14)}{- x^{3} {(7 - 5 x)}^{3}}

= \frac{20 x - 14}{x^{3} {(7 - 5 x)}^{3}}

Und schon hast du wieder etwas weniger Rückstand.

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

20:54 Uhr, 12.10.2008

OK, bezüglich Polynomdivision ist jetzt alles klar, danke!

Zu

1)

Ok, danke, die Schreibweise merke ich mir so, aber ich bin mir da immer noch etwas unsicher. Der Punkt zur Berechnung heißt bei uns Grenzwertverhalten UND Asymptote.
Aber ist die Asymptote letztendlich nicht das Grenzwertverhalten?

Also auch bei

\frac{1}{x^{2}} + 7

ist die Asymptote ja

y = 7,

muss ich da auch noch was anderes zum Grenzwertverhalten(limes) schreiben?

zu

2)

Ok, dann hatte ich das ja eigentlich richtig, nur nicht weiter umgeformt.

Dasselbe Problem habe ich bei folgender Aufgabe:

f (x) = \frac{x}{cos (2 x)}

Musterlösung= f´(x)= cos^2(x)+2xsin(2x)/cos^2(2x)

Auch da habe ich irgendwie was anderes...

Aber nochmals ein außerordentliches Dankeschön! Mein Rückstand schmilzt so wirklich immer mehr und deswegen bin ich schonmal sehr dankbar!

MBler07 aktiv_icon

21:08 Uhr, 12.10.2008

Asymptote und Grenzwert sind nicht dasselbe.
Der Grenzwert ist ein Wert, dem sich die Funktion unendlich nah annähert, aber nie erreicht.
Die Asymptote ist die Gleichung einer Geraden, die im unendlichen denselben Wert annimmt wie der Grenzwert. Davor kannst du aber Näherungswerte berechnen.
Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn du

z . B

. eine komplizierte Funktion hast und hohe Werte berechnen musst. Oder einfach mal ungefähr wissen willst, welchen Wert sie für ein großes

x

annimmt.

Bei deinem Beispiel brauchst du das nicht, da die Asymptote eine Parallele zur x-Achse und somit gleich dem Grenzwert ist.

f (x) = \frac{x}{cos (2 x)}

f' (x) = \frac{1 \cdot cos (2 x) - x \cdot (- sin (2 x) \cdot 2)}{{cos}^{2} (2 x)}

f' (x) = \frac{cos (2 x) + 2 x \cdot sin (2 x)}{{cos}^{2} (2 x)}

Wo dein Fehler liegt, kann ich dir so nicht sagen. Evtl wieder die Kettenregel vergessen?!

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

21:13 Uhr, 12.10.2008

Zu der zweiten Aufgabe: Jop, das war es mal wieder, scheiße! Habe die 2 von v´ nicht beachtet.

Zu Punt 1: Ok, es ist nicht dasselbe, aber bei meiner Aufgabe im Prinzip schon. Kannst du dann vielleicht ein Gegenbeispiel nennen, um das zu veranschaulichen?

Und bei der von mir genannten Aufgabe: Schreibe ich ja einma

y = 7

und was schreibe ich dann nochmal für den Grenzwert?

MBler07 aktiv_icon

21:33 Uhr, 12.10.2008

Du kannst vielleicht Fragen stellen. Jetzt muss ich mir auch noch ein Beispiel überlegen. Denken am späten Abend :-)

f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 2}

Asymptote:

y = x + 1

Grenzwert:

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

Zu der anderen ist glaub ich alles gesagt. Du brauchst da nix anderes zu schreiben. Letztendlich ist die Asymptote ja das Ergebnis einer Grenzwertbetrachtung.
Ist das klar oder soll ich das nochmal etwas ausführen?

FreundlicherFragesteller aktiv_icon

21:37 Uhr, 12.10.2008

Ja, ich weiß, ich frage immer sehr detailliert, aber wenn verstehen, dann auch richtig, finde ich.

Ok, danke für das Beispiel.

Zu Punkt 2: Ok, wenn das Grenzwertverhalten=Asymptote ist (also nicht insgesamt aber in einem solchen Fall), dann habe ich es verstanden, denke ich :-)

Danke nochmals!

MBler07 aktiv_icon

21:43 Uhr, 12.10.2008

Bitte, Bitte.
Dann einen schönen Abend noch.

539009

538765

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?