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Wurzel aus n erfüllt nicht Cauchy-kriterium. Warum

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Lineare Unabhängigkeit

Sonnenlord aktiv_icon

17:41 Uhr, 09.05.2018

guten abend,

ich stehe vor ein Problem, bei dem ich nicht so recht weiß, wie ich vorgehen soll...

Die Aufgabe ist:

Zeigen Sie, dass die Folge

(\sqrt{n})

das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt.
(Tipp: Für jedes

n

≥

k

gibt es ein eindeutiges

m

≥ 0 mit

n = k + m .)

Mein Lösungsansatz:

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Das Cauchy-Kriterium:

Sei

(a_{n})

eine Folge in R.

(a_{n})

konvergiert :⇔

(a_{n})

ist Cauchy-Folge

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Vorgehen: Prüfen, ob

(\sqrt{n})

konvergiert. Wenn das nicht der Fall ist, dann erfüllt

(\sqrt{n})

das Cauchy-Kriterium nicht.

Schon hier war ich am Überlegen, wie ich zeigen kann, dass

(\sqrt{n})

keinen Grenzwert hat.
Mit dem Epsilonbeweis geht es ja schlecht, da man dafür den vermuteten Grenzwert braucht.

Ich dachte mir, dass ich das am besten mit dem Sandwichmethode versuche.

Sei

(b_{n}) := (\sqrt{n})

a_{n}

≤

(\sqrt{n})

≤

c_{n}

\Rightarrow \sqrt{1}

≤

(\sqrt{n})

≤

(\sqrt{n^{2}})

\Rightarrow 1

≤

(\sqrt{n})

≤

n

Durch die Sandwichmethode sieht man ja, dass alle abgeschätzten Folgen , die größer sind als

\sqrt{n}

nicht konvergent sind und somit das cauchy-kriterium nicht erfüllen.

Aber kann man das überhaupt so beweisen? Weil ich kann mit dem Tipp in der Aufgabenstellung nichts anfangen... Hat jemand eine Idee, wie man das mit dem Tipp zeigen kann ?
Das wäre sehr hilfreich !

Ich danke schonmal jeden für seine Bemühungen, es mir zu erklären

Lg
Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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ledum aktiv_icon

18:41 Uhr, 09.05.2018

Hallo
was du hingeschrieben hast ist NICHT das Cauchy kriterium. lies das richtige in deinem Skript oder wiki nach;
de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kriterium
Gruß ledum

Sonnenlord aktiv_icon

18:48 Uhr, 09.05.2018

Danke für deine Antwort!

Dann habe ich wohl das Kriterium mit einem einem anderen Satz bzw. Folgerung verwechselt...

Okay, dann ist es ungefähr die selbe Vorgehensweise wie beim Epsilonbeweis oder? Dann probiere ich das jetzt aus.

Ich Frage noch mal nach, wenn ich dann absolut keine Ahnung mehr habe, wie es weiter geht.

Danke für deine Hilfe
LG
Till

michaL aktiv_icon

20:50 Uhr, 09.05.2018

Hallo,

um nachzuweisen, dass

(\sqrt{n})_{n \in ℕ}

nicht konvergiert, reicht es zu zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist.
Wenn sie nicht beschränkt ist, kann sie (weil monoton) nicht konvergieren und damit auch das zur Konvergenz äquivalente Cauchy-Kriterium nicht erfüllen (wie du selbst korrekt erkannt hast).

Mfg Michael

ledum aktiv_icon

21:19 Uhr, 09.05.2018

Hallo Michael,
die Frage ist aber einschließlich Tip si formuliert, dass es wirklich das Cauchkriterium sein soll.
Gruß ledum

Sonnenlord aktiv_icon

13:43 Uhr, 10.05.2018

Ich bedanke mich an beide für die Antworten.

Okay, ich habe mir ein paar Videos dazu angeschaut, wie man Folgen mit dem Cauchykriterium prüft. Allerdings werden solche folgen immer abgeschätzt....

Naja, ich schreibe kurz mein Lösungsversuch hin und kann dann mein Problem dabei erläutern:

Cauchy-Kriterium:

Eine Folge

(a_{n})

heißt Cauchy-Folge

: \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq : | a_{n} - a_{m} | < ε

Wir haben die Folge

(a_{n}) = \sqrt{n}

. Sei dazu

m = n + 1

(weil

\sqrt{m}

von

\sqrt{n}

ein Nachfolger ist)

\Rightarrow

| a_{n} - a_{m} | = | \sqrt{n} - \sqrt{m} | = | \sqrt{n} - \sqrt{n + 1} | \leq | \sqrt{n} | - | \sqrt{n + 1} | \leq ε

Nun quadriere ich auf beiden Seiten und erhalte dann:

{(| \sqrt{n} | - | \sqrt{n + 1} |)}^{2} \leq ε^{2}

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter... Also die Methode mit dem Quadrieren war auch meine einzige Idee, die ganze Aussage zu beweisen... Gibt es vielleichtt eine bessere Herangehensweise ? Ich wäre euch sehr dankbar..

Lg
Till

ermanus aktiv_icon

14:31 Uhr, 10.05.2018

Hallo,
egal, wie groß

n

sein mag, du hast doch immer mit

m = 4 n \geq n

∣ a_{n} - a_{m} ∣ = ∣ \sqrt{n} - \sqrt{4 n} ∣ = \sqrt{n}

. Das wirst du wohl kaum unter
beliebig vorgegebenes

ε

drücken können ;-)

Gruß ermanus

Sonnenlord aktiv_icon

15:01 Uhr, 10.05.2018

Hey! Wie kommst du auf

m = 4 n \geq n

???

Tut mir leid, aber ich bin ein kompletter Anfänger in diesem Gebiet und checke diese Abschätzung nicht wirklich

... : (

Kannst du mir zeigen, wie man so eine Folge richtig auf Divergenz beweisen kann ? Oder braucht man für solche Sachen ein bestimmtes Auge ?

LG
Till

ermanus aktiv_icon

15:05 Uhr, 10.05.2018

Ja, gutes Auge ist eine prima Idee ;-)

ich habe halt ein

m > n

gesucht, für dass sich

∣ a_{n} - a_{m} ∣

besonders übersichtlich
als "sperrig gegen Kleinwerden" erweist ...
Dahinter steckt keine Methode, eher eine gewisse Lust zur "Kreativität" ...

Sonnenlord aktiv_icon

15:16 Uhr, 10.05.2018

Ahhh, okay!

Wenn aber der Abstand von

\sqrt{n}

zu einem beliebigen

\sqrt{m} = \sqrt{4 n}

wieder

\sqrt{n}

ist, dann lässt sich das

n

für

ε

auch bestimmen...

Also:

\sqrt{n} \leq ε |^{2}

\Rightarrow n \geq ε^{2}

Und somit habe ich trotzdem dieses

n

für ein bel.

ε

gefunden...
Warum ?

Aber vllt verstehe ich einfach nur das Kriterium nicht...

ermanus aktiv_icon

15:20 Uhr, 10.05.2018

Da steht doch

\sqrt{n} < ε

, und wenn du dass quadrierst,
bekommst du

n < ε^{2}

. Welches

n

willst du denn nehmen z.B. bei
vorgegebenem

ε = 0, 1

Sonnenlord aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.05.2018

Hey, sorry für die späte Antwort. Musste raus...

Naja, wenn ich

ε = 0,1

wähle und

n = ε^{2} = {0,1}^{2} = 0,01,

dann folgt daraus

∣

\sqrt{0,01} - \sqrt{4 \cdot 0,01}

∣ = ∣

0,1 - 0,2

∣ = ∣

- 0,1

∣

= 0,1

Der Abstand zwischen den beiden Folgengliedern ist

0,1

für

ε

. Das erfüllt doch iwie das Kriterium oder nicht ?

Also so denke ich momentan,... ich verstehe einfach nicht, wo der Widerspruch ist:/

Tut mir leid, wenn ich dich mit Logikfehler nerve. Ist wirklich nicht mit Absicht

ermanus aktiv_icon

20:24 Uhr, 10.05.2018

Hallo,

n \neq 0

ist doch eine natürliche Zahl, also ist

n \geq 1

, wie kann dann

n \leq 0, 01

sein ?????

Sonnenlord aktiv_icon

20:39 Uhr, 10.05.2018

Achso, jetzt!

Bei wirklich konvergenten Folgen würde ja für das

n

immer eine natürliche Zahl herauskommen, oder ? Wie kann ich das also begründen, dass

\sqrt{n}

das Cauchykriterium nicht erfüllt ?

Kann ich nicht einfach sagen:

Die Folge

\sqrt{n}

erfüllt das cauchykriterium deshalb nicht, weil

n

eine natürliche Zahl ist und somit keine rationale Zahlen annehmen kann. Passt das so?

ermanus aktiv_icon

20:49 Uhr, 10.05.2018

Das hat mit Rationalität gar nichts zu tun.
Ich sag es noch mal hoffentlich jetzt noch klarer.
Sei

n \geq 1

, dann gilt für

\sqrt{n} \geq 1

.
Es ist für

m \geq 4 n

∣ a_{n} - a_{m} ∣ = ∣ \sqrt{n} - \sqrt{4 n} ∣ = \sqrt{n} \geq 1

und kann infolgedessen nicht z.B. kleiner als

ε = 0, 1

werden. Also ist das Cauchysche Konvergenzkriterium nicht erfüllt.

Sonnenlord aktiv_icon

21:20 Uhr, 10.05.2018

Okay, ich hoffe, dass ich es verstanden habe.

Der Abstand von

\sqrt{n}

und

\sqrt{4 n}

ist

\sqrt{n}

und

\sqrt{n} \geq 1

. Deswegen darf

n

keine kleineren Zahlen als 1 annehmen.

Letzte Frage:

Nehmen wir

z . B

. die Folge

\frac{1}{n}

. Für diese Folge ergibt ergibt sich dann

N \geq \frac{1}{ε}

.
Wenn ich jetzt

ε = 5

wähle, dann ist

N > 0,2

. Dann muss ich aber

N

logischerweise auf 1 runden, da

N

nicht

0,2

annehmen kann, weil es aus

ℕ

kommt. Oder?

ermanus aktiv_icon

21:28 Uhr, 10.05.2018

ja, in solchen Fällen immer auf die nächste ganze Zahl aufrunden.

Sonnenlord aktiv_icon

21:57 Uhr, 10.05.2018

Jetzt ergibt das ganze einen Sinn...

Ich nehme jetzt nochmal dein Beispiel.

Sei

ε = 0,1

dann erhalte ich für

n = ε^{2} = {0,1}^{2} = 0,01

n

aus

ℕ

kommt, runde ich von

0,01

auf 1 und setze

n

dann in die Wurzel ein.

Dann erhalte ich

| \sqrt{n} - \sqrt{4 n} | = | \sqrt{1} - \sqrt{4 \cdot 1} | = | \sqrt{1} - \sqrt{4} | = | 1 - 2 | = | - 1 | = 1

und

1 \geq ε = 0,1

Somit ist das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt. Ist das so richtig ? Wenn ja, dann habe ich das endlich nachvollzogen und sollte dir die Füße küssen.

ermanus aktiv_icon

22:39 Uhr, 10.05.2018

Nur wegen der Genauigkeit:
es ist

∣ \sqrt{n} - \sqrt{4 n} ∣ = \sqrt{n} \geq 1

.
Ansonsten hast du Recht.

Man muss aber jetzt nicht solch einen Formalkrams mit

ε

oder so machen. Man sieht doch,
dass

\sqrt{n} \geq 1

ist, also nicht beliebig klein gemacht werden kann,
egal wie groß

n

ist. Daran wird doch kein Mathemetiker zweifeln ;-)
Bitte kümmere dich mehr um den Sinn der Sachen,
und klammere dich nicht so sklavisch an die blutleeren Formalismen !!!

Sonnenlord aktiv_icon

00:02 Uhr, 11.05.2018

Naja, jetzt habe ich das verstanden. Dabei lag die Lösung vor meinem Augen und ich merke erst ein paar Stunden später, dass das ganze einen Sinn hat.

Ich war auf einem völlig anderen Gedanken.
Tut mir noch mal leid für mein Verständnisproblem. Kann mir gut vorstellen, dass du dich ab und zu aufgeregt hast xD

Ich danke dir sehr! Ohne deine Hilfe wäre ich so, so seltsam es auch klingt, nicht darauf gekommen.

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