Zwei geraden mit Parabel verbinden

Hi,

ich hab dir mal ne Zeichnung eingestellt, wie ich die Aufgabe sehe.

Die Parabel (rot) ist schon die Lösung.

Zur Herleitung der Funktion muss ich aber wissen, mit welchen Begriffen ihr arbeitet. Ich vermute mal, dass ihr z.B. nicht mit Ableitungen arbeitet, sondern mit allgemeinen Parabelkenntnissen.

Schreib mal

pantau

Antwort gelöscht, da falscher Ansatz

pantau

Alles zurück, Parabel funktioniert gar nicht,

es muss eine kubische Funktion sein;

Zeichnung siehe unten (in der ersten Antwort ist die Zeichnung erneuert).

pantau

Also,

du hast die folgenden Informationen:

Zwei Punkte der gesuchten Funktion sowie

die Steigungen der neuen Funktion in diesen Punkten.

Ergibt für die gesuchte Funktion folgende Eigenschaften:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)=0;\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4\right)=0;{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)=-4;{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(4\right)=2}$

Daraus lässt sich eine Funtion driten Grades ableiten;

allg. Funktionsgleichung:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

1. Ableitung:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=3\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Setzt du die Eigenschaften in diese Gleichungen ein, erhält man insgesamt folgendes Gleichungssystem:(d=0, c=-4)

${\displaystyle \left|\begin{array}{c}64\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+16\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-16=0\\ 48\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+8\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4=2\end{array}\right|}$

dieses lösen ergibt: a=-1/8; b=2/3

Damit heißt die Funktion:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\frac{1}{8}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\frac{2}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

pantau

Außerdem wird die Bedingung <"glatt" miteinander verbindet> durch eine Parabel nicht erfüllt

pantau

Da ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)=-4}$ sein muss (Steigung der Geraden) und die erste Abelitung allgemein lautet:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=3{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ heißt, folgt:

${\displaystyle 3{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 0}^2+2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 0+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-4}$ und damit : c=-4

pantau

Hi,

bei b ist ein Zahlendreher drin, muss b=3/2 heißen. Zeichnung ist aber richtig.

Unten nochmal die gesamte Rechnung gescannt

Ist wohl nicht mein Tag heute

pantau