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extremwertaufgabe: trapez unter parabel

Universität / Fachhochschule

Tags: Extremwertaufgabe, Graph, Parabel, Trapez

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13:57 Uhr, 30.07.2009

hallo..
habe ein kleines problem mit einer extremwertaufgabe!

zeichne die kurve

y = - 0.5 x^{2} + 8

. dem von der x-achse abgeschnittenen parabelsegment ist das trapez grössten flächeninhalts einzuschreiben.wo liegen seine ecken?!?

habe mir gedacht:
hauptbedingung:

0.5 (a + c) \cdot h

(flächenformel-trapez)
nebenbedingung: ?!

kann mir da jemand ein lösungsansatz geben?!??

danke

8 D

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Raute / Drachenviereck / Trapez
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14:54 Uhr, 30.07.2009

...erstmal die ganze Sache vereinfachen

...aus Symmetriegründen reicht es, nur die Fläche des halben Trapezes unter der nach unten geöffneten Parabel zu betrachten.
Also nur die Fläche im 1. Quadranten.

Ein Eckpunkt liegt genau auf der Nullstelle der Parabel...

f (x) = - \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 8 = 0

x_{n} = . .

. (wir brauchen nur die pos. Nullstelle)

Die Fläche des halben Trapezes sezt sich nun aus dem Rechteck

x \cdot f (x)

und einem rechtw. Dreieck

\frac{1}{2} \cdot (x_{n} - x) \cdot f (x)

zusammen.

A = x \cdot f (x) + \frac{1}{2} \cdot (x_{n} - x) \cdot f (x) = \frac{1}{2} \cdot f (x) \cdot (x + x_{n})

...für welches

x

ist A nun am größten?

genau...A'(x)=0

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17:09 Uhr, 30.07.2009

hey super!!
wirklich einleutend erklärt..ich hatte um die nullstelle zu berechnen

f (x)' = 0

gesetzt, was zum extremalpunkt führt!!8D

wollte noch schnell nachfragen ob es auch die option gibt mit der trapezflächenformel diese aufgabe zu lösen?! also direkt im 1.

& 2

. quadranten das grösstmögliche trapez zu errechnen(gegeben:

f (x) - 0.5 x^{2} + 8)

ich habe mir gedacht:
als hauptbedingung

0.5 \cdot (a + c) \cdot h

nebenbedingung

a = 4

(nullstelle);C=2x;h=f(x)

NB in HB

0.5 (4 + 2 x) \cdot - 0.5 x^{2} + 8

Zielfunktion'

(\frac{3}{2}) x^{2} - 2 x + 8

ZF=0

(\frac{3}{2}) x^{2} - 2 x + 8 = 0

einsetzten von

x

werten in

- 0.5 x^{2} + 8

stimmt aber nicht!!?!warum denn nur?!?

uaaahhhh

Edddi aktiv_icon

07:15 Uhr, 31.07.2009

1. Fehler in deiner Bedingung!

a = 8!!!,

da Nullstelle bei 4 ist a natürlich

2 \cdot 4 = 8

(Grundseite)

Dann erhälst du für die Fläche:

A = \frac{1}{2} \cdot (8 + 2 \cdot x) \cdot (- \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 8) = (4 + x) \cdot (- \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 8)

so ähnlich hattest du es ja schon , bis auf dein falsches

a .

Jetzt ausmultiplizieren und Ableitung

= 0

(- 2 \cdot x^{2} + 32 - \frac{1}{2} \cdot x^{3} + 8 x)' = 0

(- \frac{1}{2} \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 8 x + 32)' = 0

- \frac{3}{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 8 = 0

x^{2} + \frac{8}{3} \cdot x - \frac{16}{3} = 0

Lösung über quadr. Ergänzung:

{(x + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} - \frac{16}{3} = 0

{(x + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{64}{9} = 0

x_{1,2} = - \frac{4}{3} \pm \frac{8}{3}

;-)

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12:42 Uhr, 31.07.2009

eddi du bist weltklasse!!!!!!!!!!!

greez from zurich

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17:37 Uhr, 31.07.2009

hallo...
habe eine frage zu einrer extremwertaufgabe..nämlich!

wie siehts aus wenn ich ne parabel habe die nach oben geöffnet ist

(\frac{1}{3} x^{2})

und eine gerade

(y = 9)

die ein segment bildet, und die grösste fläche gefragt ist!??

von einem rechteck und trapez??

mein ansatz:(beim rechteck)!
HB:

x \cdot y

NB:

y = (\frac{1}{3} x^{2})

NB in HB = ZF:

x \cdot (\frac{1}{3} x^{2}) = (\frac{1}{3} x^{3})

ZF'=x^2
ZF'= (abgrenzende Gerade

y = 9) = x^{2} = 9

x = \frac{+}{- 3}

das resultat stimmt gemäss lösungen, bin aber durch zufall drauf gekommen!!8D

falls mein ansatz richtig ist,warum?!is ne komische frage, aber ehrlich gemeint!

oder gibts andere wege die zum ziel führen?! (eben für rechteck und trapez)

p . s

. das mit trapez klappt nicht, ich kriegs nich hin!!

beim trapez hab ich mir überlegt:

gemeinsamen punkten von parabel und geraden muss ich

f (x)' =

(gerade)'

danke im voraus!!;-)

Edddi aktiv_icon

07:13 Uhr, 03.08.2009

Erstmal zu deinem Rechteck:

A = x \cdot y

du musst erstmal immer schaun, für was deine Variablen überhaupt stehen.

Nur weil du

A = x \cdot y

definiert hast, heisst das nicht das du zur Flächenberechnung die Abzsissen- und Ordinatenwerte verwenden darfst!

Besser du stellst deine Bedingungen (Haupt- und Nebenbedingung) mit andren Variablen dar...und versuchst dann die Variabeln in Abhängigkeit von

x -

und

y

darzustellen.
So kommt man nicht durcheinander.
Ich zeig's dir an deinem Beispiel mit Rechteck:

HB:

A = a \cdot b

a =

Breite des Rechtecks

= 2 \cdot x

b =

Höhe des Rechtecks

= f (x) - x = \frac{1}{3} \cdot x^{2} - x

somit haben wir für die Fläche folgende Hauptbedingung:

A = 2 \cdot x \cdot (\frac{1}{3} \cdot x^{2} - x) = \frac{2}{3} \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{2}

..das war's eigentlich schon, da wir nur noch eine Abhängigkeit von EINER Variablen haben....bloß was ist nun mit der Nebenbedingung?

Die Nebenbedingung haben wir schon bei

b = f (x) - x

implementiert.
(Sonst würde die NB lauten:

b = y - x)

Da beide Variablen a und

b

über die Parabel in Abhängigkeit stehen haben wir

b

praktisch in Abhängigkeit von a dargestellt.

Und über

A' (x) = 0

(quadratische GL.) solltest du jetzt die Extremstelle (oder

2,

je nachdem ob sie innerhalb deines Definitionsbereich - Grenzen

- 3

und

\frac{3}{}

Schnittpunkte fallen) bestimmen können.

Ähnlich mit dem Trapez:

Entweder transformierst du die Gleichungen so, das du wieder die nach unten geöffnete Parabel hast...und bestimsst es wie schon gehabt, oder eben wieder über entspr. Aufstellung deiner Bedingungen:

A = \frac{a + c}{2} \cdot h

Grundseite a ist klar (Differenz der Schnittpuntstellen):

a = 6

c

ist abh. von

x : c = 2 \cdot x

h

ist abh. von

x : h = 9 - f (x) = 9 - \frac{1}{3} \cdot x

- einsetzen
- ableiten
- nullsetzen
- Lösung ermitteln und fertig!

;-)

mediapad aktiv_icon

15:29 Uhr, 05.08.2009

hallo eddi

habe noch en wenig unklarheiten!
nämlich bei

b =

Höhe des Rechtecks

= f (X) - x = \frac{1}{3} \cdot x^{2} - x

warum rechnest du minus x?! und falls ich dann

A' (X) = 0

setze erhalte ich

x = 0; 4

und

y = 6!

sind dies nun meine koordinaten um die grösst mögliche fläche auszurechnen? und wieso wird die zahl 9 nie gebraucht?!ist ja die höhe die das segment bildet!

also aufgabe leutet:

dem durch die gerade

y = 9

von der parabel

y = \frac{1}{3} x^{2}

abgeschnittenen parabelsegment ist das rechteck und trapez grössten flächeninhalts einzuschreiben.wo liegen seine ecken?!?!

vielleicht war ich unklar in der letzten formulierung!

Edddi aktiv_icon

15:38 Uhr, 05.08.2009

...hey...hab' ich ja voll verbockt und in meiner Hektik ein bisschen Murks reingeschrieben...

Selbstverständlich ist die Höhe von unserer 9 abhängig, nämlich:

h = 9 - f (x)

Somit ist

A = 2 \cdot x \cdot (9 - f (x)) = 2 \cdot x \cdot (9 - \frac{x^{2}}{3}) = 18 \cdot x - \frac{2}{3} \cdot x^{3}

...jetzt

A' (x) = 0

...gut aufgepasst

übrigens wird die Höhe des Trapezez genauso bestimmt...und da hatt' ich's ja richtig...

nix für Ungut...

;-)

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