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f,g gleichmäßig stetig => f+g gleichmäßig stetig

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Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

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14:24 Uhr, 25.12.2012

Hallo, und frohe Weihnachten an alle. Leider muss ich einen Teil des Tages mit Klausurvorbereitung verbringen und hänge gerade an folgender Aufgabe:

Sei

D, E \subset ℝ

und

f : D \to E, g : D \to E

gleichmäßig stetig. Es soll gezeigt werden, dass dann auch

f + g : D \to ℝ

gleichmäßig stetig ist.

Ich habe dies wie folgt versucht:

(1) f

ist gleichmäßig stetig

\Leftrightarrow \forall ε_{f} > 0 \exists δ > 0 \forall x, y \in D : ∣ x - y ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (y) ∣ < ε_{f}

(2) g

ist gleichmäßig stetig

\Leftrightarrow \forall ε_{g} > 0 \exists δ > 0 \forall x, y \in D : ∣ x - y ∣ < δ \Rightarrow ∣ g (x) - g (y) ∣ < ε_{g}

Für

f + g

gilt nun:

∣ (f + g) (x) - (f + g) (y) ∣ = ∣ f (x) - f (y) + g (x) - g (y) ∣ < ε_{f} + ε_{g}

Damit scheint für mich bewiesen zu sein, dass auch

f + g

gleichmäßig stetig ist, da die Aussage für alle

ε = ε_{f} + ε_{g}

gilt. Ist dies so korrekt oder muss noch etwas mit dem

δ

gemacht werden?

Eine zweite Frage würde

f * g

betreffen. Offensichtlich ist

f * g

nicht unbedingt gleichmäßig stetig, nur weil

f

und

g

dies ist. Ein Beispiel wäre

f (x) = g (x) = x

. Doch wie kann ich das allgemein zeigen?

∣ (f * g) (x) - (f * g) (y) ∣ = ∣ f (x) * g (x) - f (y) * g (y) ∣

. Aber wie geht es weiter? Aussagen kann ich doch nur über Terme der From

∣ f (x) - f (y) ∣

bzw.

∣ g (x) - g (y) ∣

machen ...

Vielen Dank vorab!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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15:02 Uhr, 25.12.2012

Ich finde deinen Beweis nicht ausreichend. Du solltest dir ein beliebiges

ε > 0

vorgeben und dann zeigen, dass ein

δ > 0

existiert so dass für alle

x, y \in D

mit

| x - y | < δ

auch gilt dass

| (f + g) (x) - (f + g) (y) | < ε

.
Da

f

gleichmäßig stetig ist, existiert schonmal ein

δ_{f} > 0

so dass für alle

x, y \in D

mit

| x - y | < δ_{f}

auch gilt dass

| f (x) - f (y) | < \frac{ε}{2}

. Da auch

g

gleichmäßig stetig ist, existiert auch hier ein

δ_{g} > 0

so dass für alle

x, y \in D

mit

| x - y | < δ_{g}

auch gilt dass

| g (x) - g (y) | < \frac{ε}{2}

.
Vielleicht wunderst du dich warum ich in beiden Fällen

\frac{ε}{2}

wähle anstatt einfach nur

ε

. Das liegt einfach daran, dass sich später die beiden

\frac{ε}{2}

dann zu einem

ε

addieren werden, was wir ja letztendlich haben wollen. Dieser

\frac{ε}{2} - T r i c k

wird übrigens sehr oft verwendet. Und das darf man so machen, da aus

ε > 0

natürlich auch

\frac{ε}{2} > 0

folgt (und wir finden ja zu jeder positiven Zahl ein passendes

δ > 0

laut Definition).
Nun musst du dir überlegen wie du dein

δ > 0

in Abhängigkeit von

δ_{f}

und

δ_{g}

wählen musst damit für alle

x, y \in D

mit

| x - y | < δ

auch gilt dass

| (f + g) (x) - (f + g) (y) | < ε

. Es hilft, wenn du dir den Abstand der Funktionswerte dafür erstmal genauer anschaust:

| (f + g) (x) - (f + g) (y) | = | f (x) - f (y) + g (x) - g (y) | \leq | f (x) - f (y) | + | g (x) - g (y) |

gemäß Dreiecksungleichung.
Nun möchtest du dein

δ > 0

so wählen, dass du einerseits

| f (x) - f (y) | < \frac{ε}{2}

und andererseits

| g (x) - g (y) | < \frac{ε}{2}

abschätzen kannst. Denn dann kriegst du ja insgesamt folgendes:

| (f + g) (x) - (f + g) (y) | = | f (x) - f (y) + g (x) - g (y) | \leq | f (x) - f (y) | + | g (x) - g (y) | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

wie gewünscht.
Überlege dir nun also wie du

δ > 0

dazu wählen musst.

Und ich hoffe, dass du trotz der Mathematik ein frohes Fest haben wirst. ;-)

MeinNichkname aktiv_icon

15:31 Uhr, 25.12.2012

Diesen Punkt verstehe ich eben nicht. Das

δ

müsste doch in beiden Fällen das selbe sein oder? Es leuchtet mir ein, dass sich das

ε

verändert, da sich die Funktionswerte addiere. Das Argument der Funktion bleibt jedoch gleich. In anderen Worten, dass

δ

für welches

∣ f (x) - f (y) ∣ < \frac{ε}{2}

ist, müsste doch das selbe sein, für welches

∣ g (x) - g (y) ∣ < \frac{ε}{2}

ist. Für dieses Delta ist nun

∣ (f + g) (x) - (f + g) (y) ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

. Da

ε

beliebig ist und in für alle

ε

ein solches

δ

existiert, müsste die gleichmäßige Stetigkeit doch bewiesen sein, oder? Falls nicht, habe ich keine Ahnung wie ich das

δ

in Abhängigkeit von

ε

setzen sollte ...

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15:42 Uhr, 25.12.2012

Das Problem ist, dass

δ_{f} = δ_{g}

nicht unbedingt gelten muss. Du musst nun

δ > 0

so wählen, dass einerseits

δ \leq δ_{f}

und andererseits

δ \leq δ_{g}

erfüllt ist. Kommst du drauf?

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16:00 Uhr, 25.12.2012

Das einzige, was mir dazu einfällt wäre dann wohl:

δ = \frac{δ_{f} + δ_{g}}{2}

EDIT:
Wie ich ähnliches zu

f * g

zeigen könnte, will mir leider weiterhin nicht einfallen. Hast du auch da eine Anregung? Vieeln Dank vorab ;-)

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16:07 Uhr, 25.12.2012

Wenn nun aber

δ_{f} = 1

und

δ_{g} = 3

wäre, so würdest du ja

δ = 2

erhalten. Damit gilt

δ \leq δ_{f}

nicht.
Tipp: Minimum
Edit: Das Produkt zweier gleichmäßig stetiger Funktionen muss nicht wieder gleichmäßig stetig sein. Es reicht hier also vollkommen aus ein Gegenbeispiel anzugeben, so wie du es schon getan hast.

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16:56 Uhr, 25.12.2012

Ich dachte mir folgendes:

(1) δ \leq δ_{f}

(2) δ \leq δ_{g}

\Rightarrow δ + δ \leq δ_{f} + δ_{g}

\Leftrightarrow δ \leq \frac{δ_{f} + δ_{g}}{2}

Das

=

sollte vorhin nicht dort stehen.

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17:00 Uhr, 25.12.2012

Das bringt dich allerdings nicht weiter, da die Rückrichtung nicht gilt. Aus

δ \leq δ_{f}

und

δ \leq δ_{g}

folgt zwar tatsächlich

δ \leq \frac{δ_{f} + δ_{g}}{2}

aber aus

δ \leq \frac{δ_{f} + δ_{g}}{2}

folgt nicht

δ \leq δ_{f}

und

δ \leq δ_{g}

. Ich erinnere nochmal an meinen Tipp: Minimum

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17:05 Uhr, 25.12.2012

δ = min {δ_{f}, δ_{g}}

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17:11 Uhr, 25.12.2012

Genau. ;-)

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