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Bestimmtes Integral von cos^(2n)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kosinus, Vollständig Induktion

spielor aktiv_icon

16:50 Uhr, 16.06.2010

Hallo :-),
ich habe mich seit einiger Zeit an dieser Aufgabe festgefahren. Ich soll folgendes zeigen:

\int_{0}^{π} \cos (x)^{2 n} d x = \frac{1 * 3 * 5 * . . . * (2 n - 1)}{2 * 4 * . . . * 2 n} * π = A (n)

.

Mein Idee wäre hier als einzige logische Möglichkeit (

\cos (x)^{2 n}

hab ich probeweise mit einem Rechner aufleiten lassen, unmöglich für mich es selber herzuleiten) die vollständige Induktion.

I n d u k t i o n s a n f a n g

: für n = 1:

\int_{0}^{π} \cos (x)^{2} d x = {[\frac{1}{2} * (x * \sin (x) * \cos (x)]}_{0}^{π} = \frac{1}{2} * π

.
Dies entspricht A(1).
Jetzt scheitere ich beim

I n d u k t i o n s s c h r i t t

,
ich denke mal, dass ich bei (n+1) das

\cos (x)^{2 n + 2} = \cos (x)^{2 n} * \cos (x)^{2}

irgendwie durch die Induktionsvoraussetzung für

\cos (x)^{2 n}

beweisen kann, ich weiß allerdings noch nicht wie. Und genu da bräuchte ich eure Hilfe!!!Hilfe!
Danke schonmal für jede Antwort

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

17:08 Uhr, 16.06.2010

Hallo,

Du schreibst:

{cos (x)}^{2 \cdot n + 2} = {cos (x)}^{2 \cdot n + 1} \cdot sin (x)'

benutzt partielle Integration und dann die Gleichung

{sin (x)}^{2} + {cos (x)}^{2} = 1

Gruß pwm

hagman aktiv_icon

17:14 Uhr, 16.06.2010

Per partieller Integration mit

u = {cos}^{2 n + 1} (x), v' = cos (x) :

\int_{0}^{π} {cos}^{2 n + 2} (x) d x = \int_{0}^{π} {cos}^{2 n + 1} (x) \cdot cos (x) d x

= {cos}^{2 n + 1} (x) \cdot sin (x) |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin (x) \cdot (2 n + 1) \cdot {cos}^{2 n} (x) \cdot sin (x) d x

= 0 - (2 n + 1) \cdot \int_{0}^{π} {cos}^{2 n} (x) \cdot (1 - {cos}^{2} (x)) d x

= 0 - (2 n + 1) \cdot \int_{0}^{π} {cos}^{2 n} (x) d x + (2 n + 1) \int_{0}^{π} {cos}^{2 n + 2} (x) d x

also

A (n + 1) = - (2 n + 1) A (n) + (2 n + 1) A (n + 1)

\Rightarrow

A (n + 1) = \frac{2 n + 1}{2 n} A (n)

spielor aktiv_icon

17:49 Uhr, 16.06.2010

Also,
ich hab mir alles angesehen und durchgerechnet. Vielen Dank für die sehr hilfreichen Antworten, nur manchmal frag ich mich wirklich wie man auf die nötigen Umformungen kommt. Ich hab mir gedacht, dass die Partielle Integration benötigt wird, wie oft bei Sin/Cos allerdings wär ich auf diesen Ansatz nicht gekommen.
@hagman: Du hast bei der Ableitung

\cos (x)^{2 n + 1}

das Minus vergessen, dann kommt man zum Schluss nämlich auf

A (n + 1) = \frac{2 n + 1}{2 n + 2} * A (n)

.
Nichtsdestotrotz hat dein Beitrag mir auch sehr geholfen, vielen vielen Dank an euch beide.

Sophie20 aktiv_icon

09:53 Uhr, 04.12.2015

Hey, kannst du vllt eine ausführlichere Antwort aufschreiben, da ich bei der gleichen Aufgabe nicht weiter komme.
Dankeschön

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