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Determinate die sinus cosinus enthält ausrechnen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Additionstheorem, Determinante, Kosinus, lösungstrategie?, Sinus

Clownfisch aktiv_icon

23:53 Uhr, 08.01.2011

Hey
Ich möchte diese Determinante lösen (siehe bild)
Hab versucht das ganze "einfach" nach Sarrus zu lösen... Aber da landen therme bei mir auf dem Zettel wo ich mich ja nur verzetteln kann...
Das muss doch auch irgendwie elleganter gehen.
Hab mich dann mal an die additionstheoreme errinert aber so richtig klar kommen tu ich damit auch nicht.
Kann mir irgendwer sagen wie ich die aufgabe am besten angehe?

Lösung ist

D = r^{2} sin (α)

MfG
Clowni

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Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
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anonymous

23:57 Uhr, 08.01.2011

Entweder Sarrus Formel oder Laplaceschen Entwicklungssatz hernehmen .

Clownfisch aktiv_icon

01:23 Uhr, 09.01.2011

naja mein Gedanke war ob ich nicht die Determinante von Anfang an vereinfachen kann und vielleicht irgendwer was sieht was ich nicht sehe.

Gruß

BjBot aktiv_icon

01:36 Uhr, 09.01.2011

Naja so wild ist es mit Sarrus ja auch nicht.
Nachher halt entsprechend ausklammern und

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

verwenden, mehr ist es nicht.

aleph-math aktiv_icon

23:35 Uhr, 10.01.2011

Gu. Abend!

".. oder Laplaceschen Entwicklungssatz nehmen."
Man lernt nicht aus! Ich kenn die Laplace-Transform. o. den Laplace-Operator u.a., aber dass er sich auch bei Matrizenrech. verewigt hat, ist bzw. war mir neu. Gemeint ist doch die Methode, eine Spalte zu streichen u. deren Elem. als Koeff. für die Unterdeterm. zu nehmen, die durch lf. Streich. je einer Zeile entstehen, nicht?

Genau nach dieser Methode (ob Laplace o. nicht) hab ich die Determ. (nach)gerechnet, was durch a_33=0 erheblich leichter als normal ist. Mit - wie übl. - der 1.Spalte als Entwickl.Koeff. sieht das so aus (vorzeichenberein.; A_i,j sind die Unterdeterm.):

d e t (A) = \sin α \cos β \cdot d e t (A_{2, 3}) - r \cos α \cos β \cdot d e t (A_{1, 3}) - r \sin α \sin β \cdot d e t (A_{1, 2}) =

= \sin α \cos β \cdot r ² \sin ² α \cos β + r \cos α \cos β \cdot r \cos α \sin α \cos β + r \sin α \sin β \cdot (r \sin ² α \sin β + r \cos ² α \sin β) =

= r ² \sin α \cdot (\sin ² α \cos ² β + \cos ² α \cos ² β + \sin ² β \cdot (\sin ² α + \cos ² α)) = r ² \sin α \cdot ((\sin ² α + \cos ² α) \cos ² β + \sin ² β) =

= r ² \sin α \cdot (\cos ² β + \sin ² β) = r ² \sin α

. Voilà!

Die Add.theoreme sind also gar nicht nötig, man muss nur die erwähnte (u. mit Trigon. & Pythag. leicht beweisbare) Quadr.summe (sin²+cos²=1) kennen.

Viel Erfolg!

Clownfisch aktiv_icon

00:00 Uhr, 12.01.2011

Ich habs nun endlich auch...
Man muss "einfach" den durchblick behalten....

Vielen dank

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