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Ellipse und Parabel - Flächenberechnung/Integral

Schüler

Tags: Ellipse, Flächeninhalt, Integration, Parabel

lisssa aktiv_icon

20:33 Uhr, 28.04.2013

Hallo ihr Lieben!

ich komm bei folgender Flächenberechnung einfach nicht weiter. Man hat eine Parabel und eine Ellipse gegeben und sollte sich die Fläche ausrechnen die sie umschließen.

ell:

x^{2} + 3 y^{2} = 144

par:

y^{2} = 6 x

Am Anfang ist noch alles klar. Man muss sich die Schnittpunkte der beiden Figuren ausrechnen (liegt bei

x = 6)

. Weiters das a um den Endpunkt der Ellipse zu eroieren

(a = 12)

.

Und nun muss ich die Gleichung zur Flächenberechnung aufstellen. Von

[0; 6]

berechne ich die Fläche unter der Parabel und von

[6; 12]

die Fläche unter der Ellipse.

Um die Fläche der Parabel zu berechnen muss ich umformen auf

y = \sqrt{6 x}

. und integrieren mit

b = 6

und

a = 0

Danach muss ich die Fläche unter der Ellipse berechnen. Und hier habe ich meine Schwierigkeiten. Zuerst forme ich um auf

y = \sqrt{\frac{144 - x^{2}}{3}}

. Und um das zu lösen muss ich ein substituieren indem ich für

\frac{144 - x^{2}}{3} z

einsetze. Danach leite ich

z

ab und erhalte

\frac{d z}{d x} = \frac{2 x}{3}

d x = \frac{3}{2 x} \cdot d z

Und wenn ich das nun substituiere, habe ich das Problem, dass sowohl

x

und

z

in der Gleichung sind. Wie löse ich das auf?

\sqrt{z} \cdot \frac{3}{2 x} d z - \to

das kann nicht sein.

Was mache ich falsch?

Danke für eure Hilfe!!
LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
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rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 28.04.2013

\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \sqrt{144 - x^{2}} \cdot d x =

\to

du solltest hier so substituieren

\to

x = 12 \cdot sin (z)

probiers

\to . .

lisssa aktiv_icon

20:58 Uhr, 28.04.2013

Das verstehe ich nicht, warum wird das zu einer sinus Funktion?

Ma-Ma aktiv_icon

21:19 Uhr, 28.04.2013

Nachfrage: Steht da wirklich FLÄCHENberechnung oder evtl. VOLUMENberechnung ?

lisssa aktiv_icon

21:21 Uhr, 28.04.2013

beides ;-)

rundblick aktiv_icon

21:27 Uhr, 28.04.2013

"beides"

lustig - lies uns also mal den Aufgabentext vor:

zB so:
Die .. Fläche rotiert um die x-Achse .. berechne das entstehende Rotationsvolumen ..

meinst du, du musst dann die Fläche berechnen um das Volumen zu finden?

hm?

lisssa aktiv_icon

21:32 Uhr, 28.04.2013

Die Aufgabe wurde von unserer Lehrerin konstruiert.

1 .)

Berechnen Sie das Flächenstück, dass die Figuren miteinander einschließen.

2 .)

Berechnen Sie das Rotationsvolumen um die x-Achse.

(ich weiß, dass ich die Fläche nicht finden muss um das Volumen zu berechnen, so viel Ahnung hab ich gerade noch ;-) )

Könnt ihr mir weiterhelfen - wieso wird das in eine sinus funktion gewandelt?

rundblick aktiv_icon

21:46 Uhr, 28.04.2013

also nochmal: "gewandeln" ist nicht der Fachname

du sollst eine Substituton durchführen , um das Integral

\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \sqrt{144 - x^{2}} \cdot d x

berechnen zu können ..

und bei einer solchen Aufgabe heisst die weiterführende Substitution eben so :
ersetze

x

durch

12 \cdot sin (z)

und ersetze dann natürlich auch das Differential

d x

durch

d z

also:

x = 12 \cdot sin (z) . .

\Rightarrow \frac{d x}{d z} = 12 \cdot cos (z) .

. also

d x = 12 \cdot cos (z) \cdot d z

versuch es doch mal...

lisssa aktiv_icon

21:56 Uhr, 28.04.2013

Ok, vielen Dank für die Mühe!!

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