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Erste Ableitung null setzen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Extrema, Nullstellen

Drummer aktiv_icon

20:01 Uhr, 12.01.2011

Hallo, ich hätte ein Problem bei dem Nullsetzen der 1. Ableitung. Die erste Ableitung wäre wie folgt:

f' (x) = 5 x^{2} - 8 x

Wie soll man das nun Null setzen? Mann kann ja nicht

| + 8 x

rechnen, um es auf die andere Seite zu befördern.

Und dann nochwas, ich will die Funktion null setzen. Wäre es folgendermaßen richtig?

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 | - 2

0 = x^{3} - 2 x^{2} + 2 | - 2

- 2 = x^{3} - 2 x^{2} | : (- 2)

1 = x^{3} - x^{2} | 3

. Wurzel

1 = x - x^{2} |

Wurzel

1 = x - x

Hmmm.
Ich bezweifele das das so richtig ist.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

MfG
Drummer

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Shipwater aktiv_icon

20:03 Uhr, 12.01.2011

Bei der ersten Gleichung

5 x^{2} - 8 x = 0

kannst du ein

x

ausklammern und die zweite Gleichung kannst du in der 10.Klasse wohl noch nicht lösen. Da müsstest du schon mit einem Näherungsverfahran ansetzen oder auf die Cardano-Formel zurückgreifen, was allerdings Uni-Stoff ist. Dein Weg ist auf jeden Fall falsch.

Drummer aktiv_icon

20:16 Uhr, 12.01.2011

Ok danke. Aber bei dem ersten, wäre also folgendes richtig?

0 = 5 x^{2} - 8 x

0 = x (5 x - 8)

0 = 5 x - 8 | + 8

8 = 5 x | : 5

1.6 = x

Würde das so stimmen?

MfG
Drummer

ricky21 aktiv_icon

20:25 Uhr, 12.01.2011

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2

0 = x^{3}

−

2 x^{2} + 2

|−2

−2

= x^{3}

−

2 x^{2} \to

hier kannst du

x^{2}

ausklammern
also

- 2 = x^{2} (x - 2)

dann hast du bei

x^{2} = x = 0

und bei

(x - 2)

ist das

x = 2

aber ich weiß nicht genau, ob das so funktioniert, wenn

- 2

alleine links steht und man dann nur die nullstelle von den

x

rechts berechnet....

: S

stehe gerade auch aufm schlauch :-P), aber müsste stimmen...

Legia aktiv_icon

20:39 Uhr, 12.01.2011

Nochmal kurz zur ersten Aufgabe:

5 \cdot x^{2} - 8 \cdot x :

Ja, eine mögliche Nullstelle ist

1,6,

also

\frac{8}{5}

. Du kannst dafür auch die pq-Lösungsformel für quadratische Gleichungen nutzen: Dabei gilt:

x 01; x 02 = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}

. (Gilt aber nur, wenn die Funktion in Normalform f(x)=x^2+px+q vorliegt.) Du müsstest also noch durch 5 dividieren und erhältst:

f (x) = x^{2} - \frac{8}{5} \cdot x + 0

. Das jetzt in die pq-Formel einsetzen:

- \frac{- \frac{8}{5}}{2} \pm \sqrt{\frac{{(- \frac{8}{5})}^{2}}{4} - 0};

also:

\frac{4}{5} \pm \sqrt{\frac{16}{25} - 0};

da können wir auch genauso gut schreiben:

\frac{4}{5} \pm \sqrt{\frac{16}{25}};

damit können wir sagen: Die Nullstellen sind folgende:

\frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5} (\to

was du ja auch schon hattest) und

\frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 0 .

Grüße

Hoffe, das hat zumindest noch ein bisschen weitergeholfen

Drummer aktiv_icon

20:43 Uhr, 12.01.2011

Danke euch für die Mühe, hat mir wirklich sehr viel geholfen :-)

MfG
Drummer

Shipwater aktiv_icon

20:47 Uhr, 12.01.2011

ricky21 was hast du denn da bitte gemacht? ;-)
Und du kannst zwar mit der pq-Formel arbeiten, aber es geht viel schneller, wenn du ausklammerst.

x (5 x - 8) = 0

Nun ist ein Produkt dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Das heißt du kannst beide Faktoren separat auf Nullstellen untersuchen: