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Grenzwert von im Bruch stehenden Exponentialfkt.

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Bruch, Exponentialfunktion, Grenzwert

anonymous

13:09 Uhr, 22.12.2016

Ich habe irgendwie keinen Ansatz bei dieser Aufgabe könnt ihr mir helfen?
Berechnen sie folgende Grenzwerte:

lim n

gegen +∞

\frac{5^{x} + 1}{5^{2 \cdot x} - 1}

und

lim n

gegen -∞

\frac{5^{x} + 1}{5^{2 \cdot x} - 1}

Danke im Voraus .

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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13:16 Uhr, 22.12.2016

Kürze den Bruch mit

5^{x}

anonymous

13:31 Uhr, 22.12.2016

okay dann hätte ich ja bei limes+∞ als Ergebnis limes 1/∞ und das ist ja folglich 0.
Aber bei limes-∞ macht das doch kein Sinn. Dann würde ich ja in den Brüchen durch 0 teilen oder sehe ich das falsch ?
Kann man da nicht einfach sagen das es den Limes 1/∞ hat und folglich auch gegen 0 konvergiert? Da 5^-∞

= 0

und 5^2*-∞

- 1 =

∞.

Edddi aktiv_icon

13:38 Uhr, 22.12.2016

. .

. dann form dir das um:

lim_{n \to - \infty} \frac{5^{x} + 1}{5^{2 \cdot x} - 1}

lim_{n \to \infty} \frac{5^{- x} + 1}{5^{- 2 \cdot x} - 1} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + 5^{- x}}{- 1 + 5^{- 2 \cdot x}} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{5^{x}}}{- 1 + \frac{1}{5^{2 \cdot x}}}

Da steht das Ergebnis ja schon direkt da!

;-)

Matheboss aktiv_icon

14:01 Uhr, 22.12.2016

oder

lim_{x \to - \infty} \frac{5^{x} + 1}{5^{2 \cdot x} - 1} = lim_{x \to - \infty} \frac{5^{x} + 1}{(5^{x} - 1) \cdot (5^{x} + 1)} = lim_{x \to - \infty} \frac{1}{5^{x} - 1} = . .

.

jetzt steht der Grenzwert auch schon da.

Gleiche Umformung für

x \to + \infty

lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} - 1} = . .

.

Nebenbei, bei Dir steht

n \to \infty

,ich denke wohl Schreibfehler!

Atlantik aktiv_icon

11:49 Uhr, 24.12.2016

Alternative:

\frac{5^{x} + 1}{5^{2 x} - 1} = \frac{5^{x} + 1}{(5^{x} + 1) \cdot (5^{x} - 1)} = \frac{1}{5^{x} - 1}

. .

.

mfG

Atlantik

( Ich sehe gerade, dass Matheboss dies schon geschrieben hat)

Matheboss aktiv_icon

13:25 Uhr, 24.12.2016

@Atlantik

Macht nichts, doppelt genäht hält besser.

Euch Allen schöne Feiertage!

MB

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