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Grenzwert von unendl. Reihe mit Wurzel berechnen

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Tags: absolute Konvergenz, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Sonstig, Stetigkeit, unendliche reihen, Wurzel

Phil0592 aktiv_icon

14:56 Uhr, 30.06.2018

guten Tag. Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und habe mir deswegen gedacht, dass in einem Forum nachfrage. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt :-)

Aufgabe

__{_}__{_}__{}

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls der Grenzwert.

(a)

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}

(b)

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot q^{n}

für

q \in ℝ, | q | < 1

Mein Ansatz zu

a)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Um auf Konvergenz zu untersuchen, muss ich doch einer der vielen Konvergenzkriterien für die

a)

prüfen. Habe versucht, dies mit dem Quotientenkriterium nachzuweisen, aber bin nicht sicher, ob das stimmt..

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2}}}{\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}} | = lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}

= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^{2} + 3 n + 2} - n + 1}{(\sqrt{n^{2} + 3 n + 2}) - \sqrt{n^{2} + 2 n}}

Aber irgendwie komme ich zu keinem Ergebnis, denn den Limes müsste ich für die Wurzel noch beweisen...

Wie untersucht man also hier auf Konvergenz??

Und wenn die Reihe konvergiert, wie kann man den Grenzwert berechnen? ich stehe echt auf dem Schlauch...

Mein Ansatz zu

b)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Um auf Konvergenz zu überprüfen, genügt hier das Wurzelkriterium.

Ich fasse

| a_{n} |

einfach als

| n \cdot q^{n} |

auf. Laut Wurzelkriterium folgt ja:

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| n \cdot q^{n} |} = lim_{n \to \infty} | \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{q^{n}} | = | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{q^{n}} | = | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot lim_{n \to \infty} q | = | 1 \cdot q | = | q |

.

Da

| q | < 1,

konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut.

Stimmt das soweit? Wenn ja, wie kann ich auch hier den Grenzwert berechnen?

Habe leider keinen Ansatz dafür..

Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe!

einen schönen Tag

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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anonymous

17:34 Uhr, 30.06.2018

a)

Tipp 1:
Solche Terme 'riechen' nach Erweiterung mit 3. binomischer Gleichung...
Tipp 2:
Und dann sagt meine Nase, dass du dir leichter tust, auf Divergenz zu untersuchen, als auf Konvergenz,
Tipp 3:
nämlich mit einem (sehr gängigen) Minorantenkriterium.

korbinian aktiv_icon

18:38 Uhr, 30.06.2018

Hallo,
zu b)
ziehe einen Faktor q vor das Summenzeichen und betrachte die Summe als Potenzreihe bzw deren Ableitung.
gruß
korbinian

Respon

20:02 Uhr, 30.06.2018

(a)

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}

\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} \cdot (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} > \frac{1}{\sqrt{n + 1} \cdot (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 1})} = \frac{1}{2 \cdot (n + 1)}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2 \cdot (n + 1)}

divergent

Phil0592 aktiv_icon

19:24 Uhr, 06.07.2018

danke für eure Antworten! Bin letztendlich nach langer Zeit selber darauf gekommen, aber ich danke euch trotzdem!

Wünsche euch noch einen schönen Abend :-)

Φ l

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