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Nullstellen von cos(x) und sin(x) berechnen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Cosinus, Sinus

albaum aktiv_icon

14:21 Uhr, 22.03.2016

Guten Tag,

ich schreibe in 4 Wochen meine Abi-Klausur in Mathe (LK) und bin grad auf das Thema Nullstellen berechnen von sinus und cosinus Funktionen gestoßen...

Ich habe dies eig relativ gut verstanden jedoch habe ich nun eine Frage bei eine Aufgabe:

ges: Nullstellen von sin(2x+4pi) im Intervall von (-2pi,0)

Meine Rechnung:

sin(2x+4pi)=0
2x+4pi

= k \cdot π

|-4pi

2 x =

k*pi-4pi

| : 2

x =

((k*pi)/2)-2pi

Jedoch steht in der Lösung, dass das 4pi wegfällt, da 2x+4pi=

k \cdot π

gleichbedeutend mit

2 x = k \cdot π

ist...

Und dass verstehe ich jetzt nicht... Warum fällt 4pi weg?...

Danke schonmal in vorraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ginso aktiv_icon

14:30 Uhr, 22.03.2016

naja du suchst alle Lösungen bei denen

2 x + 4 π

ein Vielfaches von

π

ist.
Wenn

2 x

ein Vielfaches von

π

ist, dann auch

2 x + 4 π

.
Anders gesagt, man kann

2 x + 4 π = k π

auch umstellen zu

2 x = (k - 4) π

und jetzt sieht man, dass das gleichbedeutend ist mit

2 x = k π

, verstanden?

albaum aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.03.2016

Dass die Funktion 2x=(k−4)π fast gleich wie die Funktion 2x=kπ ist, ist mir klar, jedoch verstehe ich nicht warum man die -4π einfach weglässt oder in dem Fall die

- 4

aus der Klammer eliminiert...

Weil die Funktion einen speziellen Punkt auf dem Sinusgraphen beschreibt oder warum? :?

Roman-22

15:31 Uhr, 22.03.2016

Formal gesehen hast du Recht

2 x + 4 π = k \cdot π

mit

k \in ℤ

oder

2 x = (k - 4) \cdot π

ist nicht dasselbe wie

2 x = k \cdot π

weil der Buchstabe

k

hier eine andere Bedeutung hat.

Aber du kannst ja substituieren

\to n = k - 4

und erhältst

2 x = n \cdot π

mit

n \in ℤ

Das wäre jetzt ganz sauber, einen neuen Variablenbezeichner einzuführen.

Sehr oft wird das aber nicht so gemacht, weil das

k

oder

n

nicht für einen bestimmten Wert steht, sondern nur ausdrücken soll, dass es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von

π

handelt.

R

linuxdoesitbetter aktiv_icon

15:46 Uhr, 22.03.2016

Hallo albaum,

Ginsos Term:

2 x = (k - 4) π

kann man auch umstellen zu:

x = (k - 4) \frac{π}{2}

Das heißt doch, die obige Sinusfunktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von

\frac{π}{2}

. Das k ist ja eine beliebige ganze Zahl. Wenn k eine beliebige ganze Zahl ist, dann ist k-4 auch eine ganze Zahl - stimmt's? Dann könntest du ja eine neue ganze Zahl z.B. z definieren mit z = k-4. Dann lautet die Lösung:

x = z \frac{π}{2}

Dieses z ist nun eine beliebige ganze Zahl. Du kannst dieses z auch k nennen. Dann heißt die Lösung:

x = k \frac{π}{2}

Nun wählst du k so, dass x im gesuchten Intervall liegt. Das wäre natürlich auch mit dem alten k gegangen. Letztendlich war ja die Frage, welche ganzzahligen Vielfache von

\frac{π}{2}

liegen im offenen Intervall von (

- 2 π

; 0

)

Gruß,
ldib

linuxdoesitbetter aktiv_icon

15:50 Uhr, 22.03.2016

@Roman

Sorry! Unsere Antworten haben sich zeitlich überschnitten. :-)

Gruß,
ldib

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