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Öffnungsfaktor einer Parabel berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Parabel

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23:01 Uhr, 01.12.2012

Hallo :-)
Also wir sollen eine Aufgabe berechnen und ich komme leider überhaupt nicht weiter..schon seit stunden nicht.

f (x) = a \cdot x^{2}

g (x) = x

Flächeninhalt

A = \frac{2}{3}

wir sollen nun a berechnen.

meine Überlegung war jetzt:

h = f (x) - g (x) \to h = a \cdot x^{2} - x

A =

∫

h \to \frac{2}{3} = \frac{1}{3} a \cdot x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}

da aber ja auch

x

noch berechnet werden muss und keinerlei andere punkte gegeben sind (leider auch keine Zeichnung etc)
habe ich keine Ahnung wie ich weitermachen muss..

Danke schonmal für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

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anonymous

23:43 Uhr, 01.12.2012

Also ich versuche einmal zu vermuten, was hier die Aufgabenstellung ist.
Gegeben sind zwei Funktionen

f (x) = a \cdot x^{2}

mit

a \in ℝ

g (x) = x

Die von beiden Graphen eingeschlossene Fläche beträgt

\frac{2}{3}

Ist es das ?

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23:45 Uhr, 01.12.2012

ja genau

anonymous

23:47 Uhr, 01.12.2012

Um die Grenzen für das Integral zu bekommen, müssen zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmt werden.
Also

f (x) = g (x)

Wie lauten die Schnittpunkte?

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23:53 Uhr, 01.12.2012

x^{2} - \frac{x}{a} = 0

und dann die pq-Formel anwenden richtig?

anonymous

23:55 Uhr, 01.12.2012

f (x) = a \cdot x^{2}

g (x) = x

f (x) = g (x)

a \cdot x^{2} = x

a \cdot x^{2} - x = 0

x \cdot (a \cdot x - 1) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

\land

x_{2} = \frac{1}{a}

pq-Formel ist hier nicht erforderlich ( man kann sie natürlich verwenden ).

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23:56 Uhr, 01.12.2012

mit pq-Formel lautet es dann:

x 1 = 1

x 2 = 0

wieso denn

a \cdot x^{2} - x = 0

?
ich dachte vor

x^{2}

darf keine zahl stehen?

anonymous

23:58 Uhr, 01.12.2012

Natürlich darf vor dem

x^{2}

eine Zahl stehen, wer soll das verbieten?

anonymous

23:59 Uhr, 01.12.2012

Deine Lösung kann insofern nicht richtig sein, weil ja der Schnittpunkt vom Parameter a abhängig ist, bei dir ist er aber verschwunden.

anonymous

00:06 Uhr, 02.12.2012

Gibt's schon Lösungen ?

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00:09 Uhr, 02.12.2012

1. uns wurde mal gesagt wenn wir die pq-formel benutzen darf vor dem

x^{2}

keine zahl mehr stehen

2. ok...aber die Formel lautet doch

a \cdot x^{2} - p \cdot x + q (q

ist hier ja 0 und

p

ist

- 1)

ist dann vllt

a \cdot x 1 = 1

und

a \cdot x 2 = 0

anonymous

00:10 Uhr, 02.12.2012

Schon sehr nahe.

a \cdot x_{1} = 1

x_{1} =

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00:11 Uhr, 02.12.2012

x 1 = \frac{1}{a}

anonymous

00:12 Uhr, 02.12.2012

Das ist korrekt.

x_{1} = \frac{1}{a}

x_{2} = 0

Das sind auch die Grenzen des Integrals.

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00:15 Uhr, 02.12.2012

und wie kann ich daraus den öffnungsfaktor a berechnen?

anonymous

00:18 Uhr, 02.12.2012

Du bildest von

f (x) - g (x)

das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 0 und

\frac{1}{a}

.
Dieses bestimmte Integral hat den Wert

\frac{2}{3}

. Dadurch erhältst du eine Gleichung für a und kannst a ausrechnen.
Also nächster Schritt: Bestimmtes Integral von

f (x) - g (x)

zwischen 0 und

\frac{1}{a}

anonymous

00:19 Uhr, 02.12.2012

Du hast ja ganz oben das - unbestimmte - Integral schon ausgerechnet. Es haben nur die Grenzen gefehlt.

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00:25 Uhr, 02.12.2012

stecke bei

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2} = \frac{2}{3}

anonymous

00:26 Uhr, 02.12.2012

Nicht so schnell. Berechne zuerst das bestimmte Integral alleine. Da kann man noch viel vereinfachen.

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00:32 Uhr, 02.12.2012

ok

also Integral mit Untergrenze 0 und Obergrenze

\frac{1}{a}

von

a \cdot x^{2} - x

\frac{1}{a}

eingesetzt ergibt
Integral von 0 bis

\frac{1}{a}

von

a \cdot {(\frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{a}

richtig?

anonymous

00:35 Uhr, 02.12.2012

Deine Rechnung für das bestimmte Integral war ja korrekt, man kann es nur noch vereinfachen.

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{a^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{2}} = . .

.
Auf gemeinsamen Nenner bringen, dann haben wir ein sehr einfaches Ergebnis.

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00:39 Uhr, 02.12.2012

wie kommt man denn von

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{2}

auf

\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2}

anonymous

00:41 Uhr, 02.12.2012

Das steht auch nirgends. Wo hast du das her?

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00:44 Uhr, 02.12.2012

in der ersten Reihe

anonymous

00:52 Uhr, 02.12.2012

Also ich glaube, es hängt jetzt nur mehr am bestimmten Integral.
Das - unbestimmte - Integral ( du hast es ganz oben bestimmt ) lautet ja korrekt:

\frac{1}{3} \cdot a \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2}

Wir wissen, dass die Grenzen 0 und

\frac{1}{a}

sind.
Es gilt ja: Oberer Funktionswert minus unterer Funktionswert.
Oberer Funktionswert für

x = \frac{1}{a}

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2}

Unterer Funktionswert für

x = 0

\frac{1}{3} \cdot a \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

D . h

. wir müssen den unteren Funktioenswert wegen 0 nicht berücksichtigen.
Das bestimmte Integral lautet also

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2}

Und das soll jetzt noch so weit wie möglich vereinfacht werden.
Welches Ergebnis bekommt man dann ?

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00:59 Uhr, 02.12.2012

ohje...bin mir bei dem was für mich rauskommt jetzt aber echt unsicher

(\frac{1}{3} \cdot a) \cdot \frac{1}{a^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot a}{a^{3}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}}

anonymous

01:00 Uhr, 02.12.2012

Du hast eigentlich richtig gerechnet, aber es noch komplizierter hingeschrieben.

anonymous

01:03 Uhr, 02.12.2012

\frac{1}{3} \cdot a \cdot {(\frac{1}{a})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{a})}^{2} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{a^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \frac{a}{3 \cdot a^{3}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}} = \frac{1}{3 \cdot a^{2}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}} = ... .

.
Am Schluss kann ich den ersten Bruch durch a kürzen.

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01:09 Uhr, 02.12.2012

ich versteh gerade nicht wieso da nun

\frac{a}{3 \cdot a^{2}}

steht...müsste es nicht

\frac{a}{3 \cdot a^{3}}

heißen

anonymous

01:11 Uhr, 02.12.2012

Vollkommen richtig, ich habe mich vergriffen.
Ist schon ausgebessert.

anonymous

01:11 Uhr, 02.12.2012

Gleich haben wir's !

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01:20 Uhr, 02.12.2012

dann hätten wir

\frac{1}{3 \cdot a^{2}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}}

und das kann man glaub ich umschreiben zu

- 1 (3 \cdot a^{- 2} - 2 \cdot a^{- 2})

das wäre dann

- a^{- 2}

anonymous

01:25 Uhr, 02.12.2012

Leider nein ( Bruchrechnen, Potenzen

!)

\frac{1}{3 \cdot a^{2}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}} =

??
Wir bringen auf den gemeinsamen Nenner

6 \cdot a^{2}

\frac{1}{3 \cdot a^{2}} - \frac{1}{2 \cdot a^{2}} = \frac{2}{6 \cdot a^{2}} - \frac{3}{6 \cdot a^{2}} = . .

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01:32 Uhr, 02.12.2012

achso ok

ist es dann vielleicht

- \frac{1}{6 \cdot a^{2}} = \frac{2}{3}

?
muss das dann umgeschrieben werden ?

anonymous

01:36 Uhr, 02.12.2012

Also

- \frac{1}{6 \cdot a^{2}}

ist einmal richtig.
ABER
Der Flächeninhalt ist natürlich immer eine positive Zahl.
Bei einer Integralrechnung gilt aber eine Fläche UNTER der x-Achse als negativ, OBERHALB der x-Achse als positiv.
Negative Flächen können wir in unserem Beispiel nicht brauchen. Wir nehmen vom Ergebnis den BETRAG, also

\frac{1}{6 \cdot a^{2}}

und setzen es

\frac{2}{3}

gleich.
Also

\frac{1}{6 \cdot a^{2}} = \frac{2}{3}

Jetzt weiter du, a muss ausgerechnet werden.

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01:51 Uhr, 02.12.2012

\frac{1}{6 \cdot a^{2}} = \frac{2}{3} \to \cdot 6 \cdot a^{2}

1 = 4 \cdot a^{2} \to \frac{1}{4},

Quadratwurzel

\Rightarrow a = \frac{1}{2}

anonymous

01:53 Uhr, 02.12.2012

Fast !
Wenn gilt

a^{2} = \frac{1}{4}

Wie sieht es dann mit den Lösungen aus ?

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01:55 Uhr, 02.12.2012

die Quadratwurzel von

\frac{1}{4}

ist doch

\frac{1}{2}

anonymous

01:56 Uhr, 02.12.2012

a^{2} = \frac{1}{4}

ist eine quadratische Gleichung ( wenn auch eine sehr reduzierte ).
Wie viele Lösungen haben quadratische Gleichungen ?

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01:58 Uhr, 02.12.2012

ups ja sorry

also

+, - \frac{1}{2}

anonymous

02:05 Uhr, 02.12.2012

Richtig !
Es gibt also ein

a_{1} = \frac{1}{2}

und ein

a_{2} = - \frac{1}{2}

Dementsprechend haben wir dann

f_{1} (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2}

und

f_{2} (x) = - \frac{1}{2} \cdot x^{2}

In beiden Fällen ergibt sich der Flächeninhalt

\frac{2}{3}

.
Siehe Zeichnung.
Noch eine Anmerkung zu unserem langen Sermon:
Irgendwo stand

a \cdot x^{2} - x = 0

und ich habe gesagt, eine pq-Formel ist hier nicht notwendig.

a \cdot x^{2} - x

ist zwar eine quadratische Gleichung, es fehlt aber das absolute Glied ( also das Glied ohne

x)

.
hier geht man günstiger so vor

a \cdot x^{2} - x = 0

x

herausheben

x \cdot (a \cdot x - 1) = 0

Ein Produkt ist dann 0 wenn entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor 0 ist
Erster Faktor

x = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

Zweiter Faktor

a \cdot x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{a}

So, das wär's ( In Medizinierkreisen würde man von einer nicht allzuleichten Geburt sprechen )

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02:08 Uhr, 02.12.2012

tausend dank! du glaubst gar nicht wie sehr du mir meine Klausur am Montag gerettet hast

anonymous

02:09 Uhr, 02.12.2012

De nada.

Y

que tengas una buena noche.

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