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Ökonomische Anwendungen / Quadratische Funktionen!

Schüler Berufskolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Parabel, pq-Formel, Quadratische Funktion

Janey aktiv_icon

18:03 Uhr, 28.03.2012

Hi Ihr Lieben, ich hoffe ihr könnt mir kurzfristig noch helfen, denn ich schreibe morgen meine Mathe Klausur! und die darf nicht in die Hose gehen. Nur leider habe ich absolut keinen Schimmer von dem was ich tun muss. Unsere Lehrerin war so nett, ein Blatt auszuteilen wo diese Sätze drauf standen. Allerdings weiß ich nun wirklich absolut gar nicht was ich tun soll.. Bin für jede Hilfe sooo dankbar!

P (x) = - 80 x + 800

fixe Kosten:

558

K (x) = v \cdot x +

fixe Kosten
Die fixen Kosten lese ich am Y-Achsen-Abschnitt der Kostenfunktion ab.

zB.

K (x) = 160 x + 558

P (\frac{0}{558})

E (x) =

Preis

\cdot

Menge

Der maximale Erlös ist die Y-Koordinate des Maximums der Erlösfunktion.

(Wenn die Erlösfunktion

E (x) =

Preis

\cdot

Menge ist
wieso soll ich dann die Preisabsatzfunktion

P (x)

mal

x

nehmen um die Erlösfunktion rauszubekommen? Ist das dann nicht was anderes? / In unserem Buch steht das so: "Der Experte erklärt weiter, dass sich die Erlöse aus Preis mal Menge ergeben und multipliziert daher die Preisabsatzfunktion mit

x,

um die Erlösfunktion zu erhalten.")

G (x) =

Erlös - Kosten

Die Gewinnzone ermittel ich, indem ich die Nullstellen ausrechne.
- Die finde ich dann mit der PQ Formel, bekomme ich grad so auf die Reihe

Die Gewinnschwelle ist der Punkt, ab dem Gewinn erziehlt wird.
- Wie rechne ich die Gewinnschwelle aus?

Die Gewinngrenze ist der Punkt, ab dem kein Gewinn mehr erziehlt wird.
- Wie rechne ich die Gewinngrenze aus?

Die maximale Ausbringungsmenge ist die X-Koordinate des Maximums der Gewinnfunktion.
- Das soll heißen der

X

Wert in der Gewinnfunktion?

Das Maximum einer quadratischen Funktion finde ich mit der Scheitelpunktform
- Wie rechnet man die Scheitelpunktform?

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion finde ich mit der PQ-Formel!

\frac{p}{2} + -

√

(\frac{p}{2}) - q

p =

die Zahl beim

X; q =

die Zahl ohne

X!

In der Mitte der Gewinnzone liegt das Gewinnmaximum.
Die Gewinnzone liegt zwischen 1 und 7

\frac{1 + 7}{2} = 4

Wie findet man den COURNOTSCHEN PUNKT heraus, bzw. was ist das?

Wie rechnet man von der Normalform in die Scheitelpunktform?
Und umgekehrt?

Wie stellt man selber eine Funktion auf? Das heißt, wenn nur die Parabel gezeichnet ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

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Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden?

Schnitt Parabel - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?

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Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?

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Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Atlantik aktiv_icon

18:35 Uhr, 28.03.2012

Da kann ich dir nur bei der Umrechnung helfen."Wie rechnet man von der Normalform in die Scheitelpunktform?
Und umgekehrt?"

f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 10

in die Scheitelform:

f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 10 | - 10

f (x) - 10 = 5 x^{2} - 4 x | : 5

\frac{f (x) - 10}{5} = x^{2} - \frac{4}{5} x

Nun diequadratische Ergänzung

{(\frac{- \frac{4}{5}}{2})}^{2} = \frac{4}{25}

auf beiden Seiten der Gleichung addieren

\frac{f (x) - 10}{5} + \frac{4}{25} = x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{4}{25}

Jetzt 2. Binom:

\frac{f (x) - 10}{5} + \frac{4}{25} = {(x - \frac{2}{5})}^{2} | - \frac{4}{25}

\frac{f (x) - 10}{5} = {(x - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{4}{25} | \cdot 5

f (x) - 10 = 5 \cdot {(x - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{20}{25} = 5 \cdot {(x - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{4}{5} | + 10

f (x) = 5 \cdot {(x - \frac{2}{5})}^{2} + 9,2

Somit liegt der Scheitel bei

S (\frac{2}{5} | 9,2)

mfG

Atlantik

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prodomo aktiv_icon

18:46 Uhr, 28.03.2012

Die Preisabsatzfunktion gibt ja an, welchen Preis der Markt hergibt, wenn man

x

Stück absetzen möchte.

P (x) = - 80 \cdot x + 800

bedeutet: möchte ich nur 5 Stück verkaufen, brauche ich wenig Kunden, der Preis darf also hoch kalkuliert sein, hier

- 80 \cdot 5 + 800 = 400

. Dann bekäme ich einen Erlös von

400 \cdot 5 = 2000

. Möchte ich aber 8 verkaufen, darf ich nur

- 80 \cdot 8 + 800 = 160

pro Stück nehmen, würde also

8 \cdot 160 = 1280

erlösen. In beiden Fällen gilt Erlös = abzusetzende Stückzahl mal Preis bei dieser Absatzmenge, also

x \cdot (- 80 \cdot x + 800)

.
Die Kosten setzen sich zusammen aus Kosten pro Stück und Fixkosten.Demnach ist

v

=reine Herstellungskosten pro Stück ohne Fixkosten
Der Gewinn ist das, was nach Abzug der Kosten vom Erlös nachbleibt. Sind beide gleich, ist der Gewinn 0. Daher die Nullstellen. Die Funktion für den Gewinn ist ja

x \cdot (- 80 \cdot x + 800) - (v \cdot x + 558) = - 80 \cdot x^{2} + (800 - v) \cdot x - 558

. Das ist eine quadratische Funktion.Ihr Bild ist eine nach unten geöffnete Parabel, sieht aus wie ein Brückenbogen. Der höchste Punkt liegt also in der Mitte zwischen den Nullstellen.
Die Gewinnschwelle ist die erste Nullstelle, die Gewinngrenze die zweite. Maximale Ausbringungsmenge = mitte zwischen den Nullstellen, also dort, wo der Gewinn am größten ist.

Deine pq-Formel ist falsch oder falsch getippt. Wenn

x^{2} + p \cdot x + q = 0

gilt, dann gilt

x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}

. Dabei musst du auf die Vorzeichen achten.Eselsbrücke:

x_{1,2} =

Hälfte der mittleren Zahl (die mit

x)

mit anderem Vorzeichen

\pm

Wurzel aus (Quadrat der mittleren Zahl durch 4 minus Zahl ohne

x)

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