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Sinusfunktion bestimmen anhand einer Tabelle

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Funktion, Parameter, Sinus, Tabelle, Temperatur, Uhrzeit

mrtayfun007 aktiv_icon

16:14 Uhr, 07.05.2013

Guten Tag Leute !

Ich muss jetzt eine Sinusfunktion bestimmen, bei der man das aus einer Tablle die Daten ausliesst. Tabelle findet ihr im Anhang bzw. unten ;-)

Hochpunkt wäre HP(14\26)
Tiefpunkt ist (6\13)

Wendepunkt müsste dann sein W(10\19,5)

Amplitude haben ich schon berechnet was

a = 6,5

ist.
Periodizität also

b

habe ich

\frac{π}{8} (P = 16)

(x

wert vom Hochpunkt minus

x

wert vom Tiefpunkt;

(14 - 6) \cdot 2

danach

\frac{2 \cdot π}{16}

Bei

c

und

d

bräuchte ich Hilfe bzw ist den a und

b

richtig ?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MissMaple aktiv_icon

16:24 Uhr, 07.05.2013

Hallo,

Du hast die selbe Aufgabe schon um

14 : 42

reingestellt.

mrtayfun007 aktiv_icon

16:24 Uhr, 07.05.2013

ich habe die Frage leider falsch gestellt gehabt und alles ging durcheinander und wsste nicht wie ich das ändern bzw. löschen kann.

LG

mrtayfun007 aktiv_icon

17:01 Uhr, 07.05.2013

Fehlen ein paar Angaben ? Bräuchte wirklich Hilfe

: (

mrtayfun007 aktiv_icon

19:53 Uhr, 07.05.2013

Ist verdammt wichtig . Hat keiner eine Idee ???

Werner-Salomon aktiv_icon

20:16 Uhr, 07.05.2013

.. kann man nicht sagen, ob a und b 'richtig' sind, da Du nirgends beschrieben hast, was mit a,b,c und d gemeint ist.

Eine Sinusfunktion im Allgemeinen, die die Temperatur

T

über der Zeit

t

beschreibt, hätte hier eine Form wie

T (t) = a \sin ((t - t_{0}) \frac{2 π}{l}) + m

a

ist die Amplitude der Kurve.

t_{0}

ist der Zeitpunkt des 'Nulldurchgangs' der Sinusfunktion

l

ist die Wellenlänge (=24h?)
und

m

ist das 'Nullniveau', also der Wert, um den die Temperatur 'schwingt'.

Das sind vier Parameter, für die es die richtigen Werte zu finden gilt. Nur was ist richtig?
Im Allgemeinen bestimmt man dafür das Minimum der Summe aller Quadrate der Abweichungen von den Eingangswerten. Hört sich vielleicht kompliziert an, ist aber einfach zu realisieren.
Man nehme vier 'beliebige' Werte für die Parameter und berechne für jedes

t_{i}

die Differenz von Messwert zu

T (t_{i})

. Die Differenz wird quadriert und alle Quadrate (für alle Messwerte) auf summiert.
Nun variiert man den Parametersatz so, dass diese Summe ein Minimum annimmt.

Es gibt Funktionen für die man so etwas analytisch lösen kann; für die Sinusfunktion geht das meines Wissens nicht. Man kommt aber durch 'intelligentes Probieren' ziemlich dicht an das Optimum.

Beginnen wir mit

m

. Da der Sinus um diesen Wert schwingt und die Werte gleichmäßig verteilt sind, ist das Mittel aller Temperaturwerte sicher ein guter Schätzwert. Hier

m = 19, 6 °

Die Wellenlänge

l

setze ich zunächst auf 24h.

t_{0}

ist der Zeitpunkt bei der die Kurve die 19,6° von unten nach oben schneidet. Das passiert zwischen 8 und 10Uhr. Eine einfache Interpolation ergibt

t_{0} = 9, 8 h

Bleibt noch

a

. Ein oder zwei Werte sagen über

a

recht wenig aus, da das Ausreißer sein können. Eine Idee wäre das Integral über der Fläche zu bestimmen, die die Kurve ober- und unterhalb ihres Nullniveaus erzeugt. Dazu addiere ich die Beträge aller Differenzen zu

m_{0}

und multipliziere mit

\frac{2 π}{12}

; 12 ist die Anzahl der Werte und

2 π

ist die Wellenlänge. Da der Absolutwert der Fläche bei einer Sinuskurve (mit Amplitude=1) gleich 4 ist, muss man noch durch 4 teilen und erhält als Amplitude knapp

a = 6 °

.

Ich habe das Ergebnis im angehängtem Bild dargestellt. Es ergibt sich eine mittlere Abweichung von unter einem Grad. Das kann man noch etwas verbessern, wenn man die einzelnen Werte leicht variiert.

Gruß
Werner

mrtayfun007 aktiv_icon

20:25 Uhr, 07.05.2013

Wow echt Top von dir !

Danke für deine tolle Antwort.
Es reicht aus wenn man nur durch die Hoch- und Tiefpunkte bzw. den gegebenen Punkten die Funktion aufstellt , ohne Fein-tuning. Meint der Lehrer

Ich weiß jetzt nicht ob es so zulässig wäre den Schnitt aller Temperaturwerte zu nehmen.

Wäre noch echt nett von dir wenn du das ganze etwas eifnacher nochmal erklären köntest.

Sinusfunktion ist nicht so mein Ding.

Mit Parametern meinte ich das so:

f (x) = a \cdot sin (b \cdot (x - c)) + d

Werner-Salomon aktiv_icon

20:31 Uhr, 07.05.2013

Oh!
ich dachte, ich hätte es bereits recht ausführlich erklärt.

Unsere Formeln stimmen überein, nur die Bezeichner der Parameter sind anders gewählt.

a = a

b = \frac{2 π}{l}

c = t_{0}

d = m

Ok - wenn der Lehrer das so meint (was stellt er auch solche Aufgaben) - komme gleich wieder.

mrtayfun007 aktiv_icon

20:37 Uhr, 07.05.2013

Z . B

weiß ich das man für a die die halbe

y

Differenz der beiden Tief und Hochpunkte nehmen muss.

b

ist eben wie gesagt

b = \frac{2 \cdot π}{P},

wobei

P

die Periode darstellt, dachte die wäre

16

c

ist ja die Verschiebung in

x

Achse und

d \in y

Achse. Jedoch weiß ich nicht wie genau das geht mit der Verschiebung etc. wäre nett wenn du mir erst das noch erklären könntet, da ja das Problem darin liegt das die Funktion nicht wie die normale Sinusfunktion die

y

Achse mit dem Wendepunkt schneidet sondert ganz woanders.
Im Internet konnte ich leider nicht viel darüber finden.

Danach würde die Aufgabe für mich machbar sein denke ich.

LG

Werner-Salomon aktiv_icon

21:01 Uhr, 07.05.2013

.. wenn der Lehrer meint, dass zwei Punkte reichen. Bitte:
Tiefpunkt, Hochpunkt und Wendepunkt wie von Dir angegeben sind korrekt. Die Wellenlänge wäre dann zweimal der Abstand von Tiefpunkt zu Hochpunkt also

l = 16 h

macht in Deiner Welt ein

b = \frac{2 π}{l} = \frac{2 π}{16 h} = \frac{π}{8 h}

- stimmt also auch.

c = t_{0}

ist genau die halbe Strecke zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt - also

c = 10 h

und

d

ist die halbe Strecke zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt in senkrechter Richtung (Temperatur) - also

d = 19, 5 °

- ist identisch mit dem Wendepunkt.

Ich habe Dir das Resultat mal angehängt. Die mittlere Abweichung sind immerhin 4°. Wenn Du nur die Wellenlänge wieder auf 24h erhöhst (macht

b = \frac{π}{12 h}

), so reduziert sich die Abweichung auf knapp über ein Grad, wäre also deutlich besser.

Noch zu deinen Fragen:
Zur Periode habe ich oben schon geantwortet - das passt, wenn Du Hoch- und Tiefpunkt als fest gegeben hinnimmst; also keine Mittelung mit den verbleibenden Punkten durchführst.

Der Wendepunkt mit der positiven Steigung ist ja der 'Startpunkt' der 'normalen' Sinusfunktion

f (x) = \sin (x)

mit

f (0) = \sin (0) = 0

. Addierst Du jetzt einfach einen Wert

d

hinzu, so verschiebt sich die Kurve in

y

-Richtung.

f (x) = \sin (x) + d

, jeder y-Wert, der vorher bei

y

lag, liegt jetzt bei

y + d

Ziehst Du jetzt noch von

x

einen Wert

c

ab, so verschiebt sich die Kurve in

x

-Richtung. man erhält:

f (x) = \sin (x - c) + d

Das liegt daran, dass jetzt jeder Wert, der vorher bei (x,y) lag, nun nach (x+c,y) wandert. Setzt man

x + c

f (x) = \sin (x - c) + d

erhält man ja wieder

f (x) = \sin (x) + d

, ergo die vorherige Formel - also denn alten

y

-Wert.
.. weiß auch nicht wie ich das besser erklären soll.

Das gilt übrigens für jede Funktion. Du kannst das ja mal mit linearen Funktionen der Form

f (x) = m x + b

üben.

Gruß
Werner

mrtayfun007 aktiv_icon

21:10 Uhr, 07.05.2013

Top ! Vielen Dank für deine Erklärung

!!!

Liebe Grüße

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