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Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Differentialrechnung, Grenzwert, Stetigkeit

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22:20 Uhr, 26.09.2018

ist die Funktion

f (x) = 1 + | x |

an der Stelle

x = 0

stetig? Ist sie dort auch differenzierbar? Falls ja wie lautet die Ableitung?

Ich habe heute in der Vorlesung gefehlt und brauche jemanden der mit mir diese Aufgabe rechnet damit ich es nachvollziehen kann und danach auch selber Aufgaben lösen kann.

Also mein Rechenweg:

lim_{x \to x_{1}} \frac{f (x) - f (x_{1})}{x - x_{1}} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}

jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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rundblick aktiv_icon

22:50 Uhr, 26.09.2018

f (x) = 1 + | x |

1)

\to

ist dir klar, dass

f

an der Stelle

x_{1} = 0

stetig ist - und wie das gezeigt wird?

2)

\to

zur Klärung, ob

f

an der Stelle

x_{1} = 0

diffbar ist, wirst du

\to

den linksseitigen Grenzwert

lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

[

Ergebnis

\to - 1]

und den rechtsseitigen Grenzwert

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

[

Ergebnis

\to

]

des Differenzenquotienten ermitteln und so dann feststellen,
ob beide existieren und gleich/oder verschieden sind ..
und so sehen, ob

\to lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

existiert/oder nicht existiert.

mach das mal..

\to

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23:10 Uhr, 26.09.2018

Mein Problem ist ich weiß nicht was der Unterschied zwischen

lim_{x \to 0^{-}}

und

lim_{x \to 0^{+}}

sein soll. Was genau ändert sich beim einsetzen das bei einem

- 1

rauskommt und beim anderen etwas anderes. Tut mir leid, falls ich dich gerade wach halte aber ich will das gerade unbedingt wissen

Gogoman96 aktiv_icon

23:19 Uhr, 26.09.2018

Alles andere konnte ich nachvollziehen. Das ich mich von links an den Punkt annähre und die Steigung mit der Steigung vergleiche,wenn ich mich von rechts annähre. Wenn sie identisch sind heißt das, dass eine Tangente den Punkt berührt und wenn sie nicht identisch sind existiert keine Tangente und somit kann man auch nicht die Steigung an diesem Punkt ermitteln. So in etwa.

rundblick aktiv_icon

23:20 Uhr, 26.09.2018

f (x) = 1 + | x |

"Mein Problem ist ich weiß nicht was ..."

1 .) \to

wie sieht denn

f (x)

aus für

x < 0

.. also wenn du dich von links längs der Kurve zur Stelle

x = 0

anschleichst?

\to f (x) = ...

2 .) \to

und wie sieht denn

f (x)

aus für

x > 0

\to f (x) = .

.

so nun ermittle also links- und rechtsseitigen GW des Diff-Quotienten

\to . .

.
.

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23:23 Uhr, 26.09.2018

- x

für

x < 0

x

für

x > 0

rundblick aktiv_icon

23:26 Uhr, 26.09.2018

f (x) = 1 + | x |

! \to

du sollst

f (x)

aufschreiben 1.)für

x < 0 . .

. und

2 .)

für

x > 0 .

!!!

und wenn möglich innerhalb einer vernünftigen Bedenkzeit ..
.

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23:36 Uhr, 26.09.2018

1) f (x)

für

x < 0 f (x) = 1 - x; f (x)

für

x > 0; f (x) = 1 + x

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23:40 Uhr, 26.09.2018

f (x) = 1 + | x |

sehr gut ..
und jetzt schreibe damit blitzartig (zumindest heute noch..)
den Diff-Qoutienten

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

für den jeweiligen Fall

x < 0

bzw

x > 0

auf :

\to .

.
.

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23:46 Uhr, 26.09.2018

lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{1 - x - 1}{x - 0} = - \frac{x}{x} = - 1

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{1 + x - 1}{x - 0} = \frac{x}{x} = 1

Bitte lass es richtig sein.

rundblick aktiv_icon

23:51 Uhr, 26.09.2018

.
hm.. - es IST

. .!

\to

fehlt nun noch die Schlussfolgerung ..
?
.

Gogoman96 aktiv_icon

23:56 Uhr, 26.09.2018

Je nachdem von welcher Seite aus man die Ableitung zu bilden versucht, erhält man verschiedene Steigungen f´(0)=1 und f´(0)=-1. Daraus kann man schließen, dass die linksseitige Ableitung nicht mit der rechtsseitigen übereinstimmt und somit nicht differenzierbar ist.

Gogoman96 aktiv_icon

23:59 Uhr, 26.09.2018

An der Stelle

x_{1}

nicht differenzierbar ist. Riesen Dankeschön nochmal für heute . Hast mich echt gerettet jetzt bin ich wieder auf dem neuen Stand der Vorlesung. Danke nochmal.

rundblick aktiv_icon

00:01 Uhr, 27.09.2018

.
genauer:
.. und somit ist

f (x) = 1 + | x | \to

AN DER STELLE

x = 0

NICHT differenzierbar ..

.

Gogoman96 aktiv_icon

00:03 Uhr, 27.09.2018

Okay werde ich mir einprägen. :-)

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