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Tangente die zwei Funktionen miteinander verbindet

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Parabel, Steigung, Tangent

Rike96 aktiv_icon

16:44 Uhr, 13.01.2013

Hallo,

ich bin schon lange am Tüftel, kann nur leider keine passenden Lösungen finden.
Gegeben sind zwei Funktionen:

f (x) = - x^{2} - 6 x - 6

g (x) = x^{2} - 2 x + 2

Die Aufgabe ist es, eine Tangente zu finden, die die beiden Funktionen miteinander verbindet.
Erst habe ich mir gedacht, dass ja bei den Extrempunkten die Steigung

= 0

ist. Also habe ich aus den beiden Extrempunkten eine Funktion gebastelt, die zwar auch beide Funktionen verbindet, aber ja keine Tangente ist.
Eine andere Idee war, dass sich die beiden Funktionen im Punkt

P (- 1; 2)

spiegeln und dadurch auch die Tangente gehen müsste. Aber mit nur einem Punkt kann man ja keine Funktionsgleichung für eine Gerade aufstellen?

Vielen Danke für alle Antworten im Vorraus ;-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
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Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)

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Atlantik aktiv_icon

16:54 Uhr, 13.01.2013

Du kannst eine Gerade durch

P (- 1 | 2)

laufen lassen:

\frac{y - 2}{x - (- 1)} = m

y = . .

.

mfG

Atlantik

Rike96 aktiv_icon

22:29 Uhr, 13.01.2013

Ich habe das jetzt versucht aufzulösen:

\frac{y - 2}{x} + 1 = m | \cdot (x + 1)

y - 2 = m \cdot (x + 1) | + 2

y = m \cdot (x + 1) + 2

Aber jetzt fehlt mir doch immer noch ein Wert? Nämlich

m

anonymous

22:53 Uhr, 13.01.2013

Sei

t

in der allgemeinen Form

t : y = k \cdot x + d

Dabei sind

k

und

d

die zwei unbekannten Bestimmungstücke von

t

t

ist gemeinsame Tangente an beide Parabeln.
Ich schneide

t

mit der ersten Parabel und setze die Diskriminante

= 0 (

da nur ein Berührungspunkt )
Ebenso verfahre ich mit der zweiten Parabel. Dadurch erhalte ich zwei ( eher leichte ) Gleichungen für die zwei Unbekannten

k

und

d

( Es gibt zwei gemeinsame Tangenten

!)

anonymous

23:04 Uhr, 13.01.2013

Graph dazu

Rike96 aktiv_icon

23:09 Uhr, 13.01.2013

Erstmal schonmal vielen Dank für Deine Mühe ;-)
Ich steig aber leider noch immer nicht ganz durch:

Ich setze die beiden Parabeln

= k \cdot x + d

Also

: k \cdot x + d = - x^{2} - 6 x - 6

Die Gleichung für die Diskriminante ist ja

d = {(\frac{p}{2})}^{2} - q

Aber wie komme ich jetzt weiter?
Sorry

anonymous

23:17 Uhr, 13.01.2013

y = k \cdot x + d

1. Parabel:

y = - x^{2} - 6 \cdot x - 6

Einsetzen

k \cdot x + d = - x^{2} - 6 \cdot x - 6

x^{2} + x (6 + k) + d + 6 = 0

x_{1,2} = - \frac{6 + k}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6 + k}{2})}^{2} - d - 6}

Da Tangente:

{(\frac{6 + k}{2})}^{2} - d - 6 = 0

2.Parabel:

y = x^{2} - 2 \cdot x + 2

k \cdot x + d = x^{2} - 2 \cdot x + 2

x^{2} - x \cdot (2 + k) + 2 - d = 0

x_{1,2} = \frac{2 + k}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2 + k}{2})}^{2} - 2 + d}

Da Tangente:

{(\frac{2 + k}{2})}^{2} - 2 + d = 0

anonymous

23:24 Uhr, 13.01.2013

In diesen beiden Gleichungen lässt sich

d

sehr einfach eliminieren.

{(\frac{6 + k}{2})}^{2} - d - 6 = 0

{(\frac{2 + k}{2})}^{2} + d - 2 = 0

\Rightarrow {(\frac{6 + k}{2})}^{2} + {(\frac{2 + k}{2})}^{2} - 8 = 0

\Rightarrow k^{2} + 8 \cdot k + 4 = 0

( Zwischenschritte habe ich ausgelassen )

\Rightarrow k_{1} = - 4 - \sqrt{12}

\Rightarrow k_{2} = - 4 + \sqrt{12}

d_{1}

und

d_{2}

aus einen der Gleichungen berechnen.

rundblick aktiv_icon

23:34 Uhr, 13.01.2013

@ Rike96 :
deine Idee zu Beginn mit dem Spiegelpunkt und der sich dann ergebenden Geraden
y=m⋅(x+1)+2
ist auch gut und da musst du nun nur noch schauen, für welche Steigungen

m

ist diese Gerade Tangente an eine der Parabeln (gleich an welche.. probiers aus)

dh du musst mit deinem Ansatz das

m

so bestimmen, dass die Diskriminante

D = m^{2} + 8 m + 4

zB der quadratischen Gleichung
m⋅(x+1)+2

= x^{2} - 2 x + 2 . .

. also der Gleichung

x^{2} - (2 + m) x - m = 0

den Wert 0 hat
(denn bei

D = 0

hat die Gerade genau einen Schnittpunkt mit der Parabel)

so hast du dann schnell die beiden möglichen Steigungen für deine zwei gesuchten Tangenten
dh: setze die gefundenem

m

ein bei y=m⋅(x+1)+2
fertig

Rike96 aktiv_icon

23:41 Uhr, 13.01.2013

Vielen vielen Dank, endlich ist der Knoten in meinem Kopf geplatzt!

d = 1,46

k = - 0,54

- \to y = - 0,54 \cdot x + 1,46

DANKE DANKE

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