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Umformen von einer Sinus/Cosinus Gleichung

Schüler Ausbildungsstätte, 5. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Kosinus, Sinus, Umformen

dani987 aktiv_icon

00:34 Uhr, 13.08.2013

Wie löst man folgende Gleichung nach

x

auf:

\frac{cos (x) - sin (x)}{cos (x) + sin (x)} = 0.8

Das Ergebnis ist

0.110657,

aber wie schreibt man die Formel um, sodass

x =

BlaBla?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

00:47 Uhr, 13.08.2013

\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} = ⅘

\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = ⅘

dani987 aktiv_icon

01:01 Uhr, 13.08.2013

Das macht wohl keinen Sinn...

Ich komme soweit:

0.2 \cdot cos (x) - 1.8 \cdot sin (x) = 0

aber ich möchte die Formel umschreiben,

x =

BlaBla

pleindespoir aktiv_icon

01:25 Uhr, 13.08.2013

Sinn "machen" kann ohnehin nichts - aber mithilfe der binomischen Formeln könnte die Gleichung nach der Erweiterung erheblich vereinfacht werden.

Stephan4

01:38 Uhr, 13.08.2013

So weit Du gekommen bist, Du bist auf dem richtigen Weg.
Kleiner Tipp:
Dividiere mal beide Seiten durch

cos x

Ma-Ma aktiv_icon

01:40 Uhr, 13.08.2013

Darf ich einen kleinen Zwischeneineinwurf machen ? Mit den Binomi geht´s.
Andere Idee, aufgreifend den Ansatz von pleindespoir:

a = cos (x)

b = sin (x)

\frac{a - b}{a + b} = \frac{4}{5}

a - b = 4

II)

a + b = 5

II)

a = 5 - b

Dann einsetzen in I)
usw.usf.

dani987 aktiv_icon

02:44 Uhr, 13.08.2013

. .

. cool!

Mit euren Tips bin ich soweit gekommen:

cos (x) = 9 \cdot sin (x)

und somit (?)

x =

arccos(9

\cdot sin (x))

aber weiter komme ich nicht,

x

ist noch nicht isoliert...

pleindespoir aktiv_icon

02:56 Uhr, 13.08.2013

\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = ⅘

und weiter gehts so:
(ohne anderen Lösungsansätzen ihre Berechtigung absprechen zu wollen )

\frac{\cos^{2} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)} = ⅘

Nun verwende den alten Indianertrick von Häuptling Pytha Goras (dt.: "Rauchender Schädel")

1 = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)

dani987 aktiv_icon

03:47 Uhr, 13.08.2013

Tja, nun raucht mein Schädel gewaltig - aber ich pack's nicht!
Scheiss Mathe...

pleindespoir aktiv_icon

05:49 Uhr, 13.08.2013

Häuptling Rauchender Schädel gemacht Vorzeichenfehler in Gedanken bei tiefer Nacht und so geschickt Kleinen Krieger Dani auf Weg aus Holz.

Grosser Krieger Glühender Draht schlägt diesen Pfad vor:

\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} = ⅘

\frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} = ⅘

\frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} - ⅘ = 0

\frac{5 \cos (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{4 (\cos (x) + \sin (x))}{5 (\cos (x) + \sin (x))} = 0

\frac{5 \cos (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{4 \cos (x))}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{4 \sin (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} = 0

\frac{\cos (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} - \frac{9 \sin (x)}{5 (\cos (x) + \sin (x))} = 0

\cos (x) - 9 \sin (x) = 0

\cos (x) = 9 \sin (x)

\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = 9 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}

\frac{1}{9} = \tan (x)

Stephan4

08:28 Uhr, 13.08.2013

Man sollte vielleicht berücksichtigen: Sinus durch Cosinus ist Tangens.

Dani hat geschrieben:
Ich komme soweit:
0.2⋅cos(x)−1.8⋅sin(x)=0

Ich habe geantwortet:
Kleiner Tipp:
Dividiere mal beide Seiten durch cosx.

Das wurde nicht weiter verfolgt. dabei ginge es so einfach.
0.2⋅cos(x)−1.8⋅sin(x)=0

| : cos (x)

0,2 - 1,8 \cdot tan (x) = 0 | + 1,8 \cdot tan (x),

dann

| : 1,8

tan (x) = \frac{1}{9}

Man hätte auch schon in der Angabe den Zähler und den Nenner durch

cos (x)

dividieren können.

An pleindespoir:
Zeile 2 bis 6 Deiner Berechung kann man durch diese eine Zeile ersetzen:

4 \cdot cos (x) - 4 \cdot sin (x) = 5 \cdot cos (x) + 5 \cdot sin (x)

Bummerang

11:59 Uhr, 13.08.2013

Hallo Stephan4,

"An pleindespoir:
Zeile 2 bis 6 Deiner Berechung kann man durch diese eine Zeile ersetzen:
4*cos(x)-4*sin(x)=5*cos(x)+5*sin(x)"

Leider falsch! Richtig wäre:

5 \cdot cos (x) - 5 \cdot sin (x) = 4 \cdot cos (x) + 4 \cdot sin (x)

Stephan4

12:21 Uhr, 13.08.2013

Und sonst fällt Dir nichts dazu ein? LOL

Sicher, Du hast recht. Das hatte ich da auch stehen. Dann bin ich nochmals rein gegangen und habe es auf falsch ausgebessert. Keine Ahnung, was ich da wollte.
Danke jedenfalls, sehr aufmerksam.

dani987 aktiv_icon

11:18 Uhr, 14.08.2013

Hhhmmm - gelöst!
Prima, vielen Dank an alle!

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