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Umschlingungswinkel berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Cosinus, Differentialgeometrie, Differentialgleichung, Pytagoras, Sinus, Tangens, Trigonometrie

FrischFleisch21 aktiv_icon

19:03 Uhr, 30.01.2021

Hallo zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem. Ich möchte den Umschlingungswinkel φ von folgendem Aufbau bestimmen (siehe Zeichnung).

Dabei sind ist der Abstand

x

und

y

der Stangen, sowie deren Druchmesser

D

bekannt bzw. vorgegeben.

Grundlegend gilt erstmal offensichtlich: φ = 90°

- α

Aus dem blauen Dreieck habe ich erstmal foldenes abgeleitet:
1.

tan α = \frac{b}{\frac{D}{2} - a}

{(\frac{D}{2} - a)}^{2} + b^{2} = {(\frac{D}{2})}^{2} \Leftrightarrow b = \sqrt{a^{2} - D \cdot a}

(Pythagoras)

Aus dem gelben Dreieck erhalt ich
3.

tan α = (\frac{x - D + 2 a}{y + 2 b})

Beide Tangensfunktionen 1 und 3 gleichsetzen führt zu

\frac{b}{\frac{D}{2} - a} = (\frac{x - D + 2 a}{y + 2 b})

Hier jetzt

b

aus Gleichung 2 einsetzen

\frac{\sqrt{a^{2} - D \cdot a}}{\frac{D}{2} - a} = \frac{x - D + 2 a}{y + 2 \sqrt{a^{2} - D \cdot a}}

Der Plan wäre das nach a aufzulösen, die Lösung wieder in

b

aus Gleichung 2 einzusetzen und mir dann mit a und

b

den Winkel über Gleichung 1 zu berechnen. Leider Schaffe ich es nicht nach a aufzulösen. Folgendes habe ich versucht:

Beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner der jeweils anderen Seite erweitern, sodass ich alles auf einen Nenner bringen kann:

\frac{(\sqrt{a^{2} - D \cdot a}) \cdot (y + 2 \sqrt{a^{2} - D \cdot a})}{(\frac{D}{2} - a) \cdot (y + 2 \sqrt{a^{2} - D \cdot a})} = \frac{(x - D + 2 a) (\frac{D}{2} - a)}{(y + 2 \sqrt{a^{2} - D \cdot a}) \cdot (\frac{D}{2} - a)}

Den Nenner kann man dann kürzen. Dann habe ich erstmal alles auf eine Seite gebracht:

\sqrt{a^{2} - D \cdot a} \cdot (y + 2 \sqrt{a^{2} - D \cdot a}) - (x - D + 2 a) (\frac{D}{2} - a) = 0

Das ganz ausmultiplizieren führt zu

y \cdot \sqrt{a^{2} - D \cdot a} + 4 \cdot a^{2} - 4 \cdot D \cdot a - \frac{D}{2} \cdot x + \frac{D^{2}}{2} + x \cdot a = 0

Und hier komme ich nicht weiter. Wie löse ich das nach a auf? Geht das überhaupt analytisch?

Ich habe den Anwendungsfall mal in ein CAD Programm übertragen. Da lässt sich das bei Vorgabe von

x, y

und

D

lösen (siehe Anhang).

Vielen Dank für Eure Hilfe
Philipp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Enano

01:55 Uhr, 31.01.2021

Hallo,

umgestellt ergibt deine 2. Gleichung

b = \sqrt{D \cdot a - a^{2}}

.

"Geht das überhaupt analytisch?"

Ja, wenn du richtig rechnest, solltest du die quadratische Gleichung

a^{2} - 35 a = - 250

oder etwas äquivalentes dazu erhalten.

FrischFleisch21 aktiv_icon

16:40 Uhr, 31.01.2021

Hallo Enano,

besten Dank dir schonmal. In Gleichung 2 war tatsächlich ein Vorzeichenfehler. Danke für den Hinweis. Das führt dazu, dass sich später einiges rauskürzt. Allerdings bleibt immernoch folgender Ausdruck stehen

y \cdot \sqrt{D \cdot a - a^{2}} + x \cdot a = \frac{D}{2} \cdot x + \frac{D^{2}}{2}

Wie ich das nach a auflöse habe ich noch nicht raus...

Vielen Dank für die Hilfe
Philipp

N8eule

16:58 Uhr, 31.01.2021

ganze Gleichung

- x \cdot a;

ganze Gleichung quadrieren...

FrischFleisch21 aktiv_icon

17:14 Uhr, 31.01.2021

Besten Dank euch. Wurzel isolieren und quadrieren hats getan :-)

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