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Vorzeichenwechsel bei Polstelle?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Grenzwert, lim, Polstelle, Vorzeichenwechsel

Aviatiks aktiv_icon

18:36 Uhr, 11.11.2018

Hallo liebes Forum,

Die Funtion

y = \frac{x^{2} - 4}{{(x + 2)}^{2}}

hat nach meinen Rechnungen eine Polstelle bei

x = - 2

. Nun sollen wir angeben, ob bei den Polstellen ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Also habe ich den Lim x—>-2 betrachtet. Für x-Werte minimal größer als

- 2

(bspw.

1,999)

geht der Funktionswert ins NEGATIV Unendliche. Für x-Werte minimal kleiner als zwei ins POSITIV unendliche. Also muss, meiner Logik nach, ein Vorzeichenwechsel an der Polstelle vorliegen. Laut dem Lösungsergebnis liegt aber KEIN Vorzeichenwechsel vor!

Frage: Ist die Lösung falsch oder habe ich irgendeinen Fehler gemacht? :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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pleindespoir aktiv_icon

19:05 Uhr, 11.11.2018

Die Funktion im Nenner ist gerade - daher kein Vorzeichenwechsel an der Polstelle

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19:06 Uhr, 11.11.2018

gelöscht

Aviatiks aktiv_icon

19:13 Uhr, 11.11.2018

Ok und warum gibt es bei der Funktion

y = \frac{x + 2}{x^{2} - 9}

einen Vorzeichenwechsel? Der Nenner bzw.

x^{2}

ist ja auch gerade? Gibt es da vielleicht irgendeine allgemeine Regel die man sich merken kann?

LG!

abakus

19:16 Uhr, 11.11.2018

@pleindespoir
Die Funktion ist im Nenner nur so lange gerade, bis man den Nenner mit einem Faktor aus dem Zähler kürzt, der sich aus der dritten binomischen Formel ergibt.

pleindespoir aktiv_icon

19:16 Uhr, 11.11.2018

Sorry - habe Mist gemacht !

Die Zählerfunktion hat an der Polstelle einen Nulldurchgang - die erzeugt den Vorzeichenwechsel.

Roman-22

19:20 Uhr, 11.11.2018

x = - 2

bei deinem ersten Beispiel wäre theoretisch eine Polstelle 2. Ordnung. Erkennbar am Quadrat bei

{(x + 2)}^{2}

.
Bei Polstellen gerader Ordnung ist kein Vorzeichenwechsel zu erwarten. Allerdings kann man bei dir kürzen!
Du hast daher Recht, dass ein Vorzeichenwechsel auftritt, denn nach dem Kürzen liegt eine Polstelle erster Ordnung vor (und nur die Situation nach dem Kürzen zählt für die Ordnung).

Bei deinem zweiten Beispiel ist der Nenner

x^{2} - 9 = {(x + 3)}^{1} \cdot {(x - 3)}^{1}

.
Hier liegt sofort bei

x = - 3

und bei

x = + 3

je eine Polstelle erster Ordnung vor. Daher bei beiden Vorzeichenwechsel.

\to

de.wikipedia.org/wiki/Polstelle#Ordnung_einer_Polstelle

pleindespoir aktiv_icon

19:21 Uhr, 11.11.2018

Gemeinheit:

\frac{x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}

\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 2)}

\frac{(x - 2)}{(x + 2)}

Jetzt ist die Nennerfunktion ungerade !

Roman-22

19:22 Uhr, 11.11.2018

Auch der Fall der hebbaren Unstetigkeitsstelle wird im Wiki-Artikel behandelt. Einfach nachlesen ;-)
Es geht bei der Ordnung aber nicht darum, ob die "Nennerfunktion" (du meinst den Term, oder?) gerade oder ungerade ist.
Bleibt nach dem Kürzen zB

(x - 2) \cdot {(x + 5)}^{2}

im Nenner übrig, so ist das Nennerpolynom zwar von ungeradem Grad und es gibt bei

x = 2

einen Vorzeichenwechsel, bei

x = - 5

aber nicht!

Aviatiks aktiv_icon

20:36 Uhr, 11.11.2018

Ok, das heißt ich kann festhalten das, sofern ich im Nenner etwas kürzen kann, ich dieses tun muss und der Grad des gekürzten (oder nicht gekürzten Nenners falls kürzen nicht möglich) Nenners darüber entscheidet ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht?

D . h . :

bei geradem Grad —> kein Vorzeichenwechsel, bei ungeradem Grad —> Vorzeichenwechsel.

Achso und ist das Nennerpolynom

(x - 2) \cdot {(x + 5)}^{2}

nicht gerade statt ungerade?

Roman-22

21:12 Uhr, 11.11.2018

>

und der Grad des gekürzten (oder nicht gekürzten Nenners falls kürzen nicht möglich) Nenners darüber entscheidet ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht?

Nun es geht, wie schon erwähnt, nicht um den Grad des kompletten Nennerpolynoms, sondern um die Viefachheit der Nennernullstellen, also wie oft die einzelnen Linearfaktoren im Nenner vorkommen.

zB

1)

Nenner

= (x^{2} - 10 x + 9) = (x - 1) \cdot (x - 9);

Nenne hat Grad 2 und es gibt zwei Polstellen erster Ordnung mit jeweils einem Vorzeichenwechsel

2)

Nenner=

(x^{2} - 6 x + 9) = {(x - 3)}^{2};

Nenner hat weider Grad

2,

aber diesmal gibt es nur eine Polstelle und da diese von zweiter Ordnung ist, findet kein Vorzeichenwechsel statt

>

ist das Nennerpolynom (x−2)⋅(x+5)2 nicht gerade statt ungerade?
Bei meinem Beispielnenner

(x - 2) \cdot {(x + 5)}^{2}

würde sich, wenn man ihn ausrechnet, ein Polynom vom Grad 3 einstellen. Der Nenner besteht aber aus zwei unterschiedlichen Linearfaktoren:

(x - 2)

kommt einmal vor

\Rightarrow

Pol erster Ordnung, Vorzeichenwechsel

(x + 5)

kommt zweimal als Faktor vor

\Rightarrow

Pol zweiter Ordnung, kein Vorzeichenwechsel

Aviatiks aktiv_icon

22:12 Uhr, 11.11.2018

Ok super, habe es verstanden. Vielen Dank!

Aviatiks aktiv_icon

22:19 Uhr, 11.11.2018

Wobei eine Frage wäre da noch. Wie sieht es jetzt mit den Lösungen aus. Da bei der Funktion

\frac{x^{2} - 4}{{(x + 2)}^{2}}

der Nenner mit dem Zähler gekürzt weden kann, ensteht ein Nenner ersten Grades, somit also ungerade —> Vorzeichenwechsel. In den Lösungen stand aber wie gesagt, dass kein Vorzeichenwechsel stattfindet. Was ist nun richtig und was ist falsch? LG

Roman-22

22:28 Uhr, 11.11.2018

Du könntest dir doch jederzeit den Funktionsgraphen plotten lassen! Programme dafür gibts ja genug.
In deinem Fall liegt offensichtlich ein Fehler in der Lösung vor.
Wie schon geschrieben liegst du richtig, wenn du von einem Vorzeichenwechsel ausgehst.
Es handelt sich um eine simple Hyperbel, denn nach dem Kürzen kannst du auch

y = 1 - \frac{4}{x + 2}

schreiben.

Aviatiks aktiv_icon

22:58 Uhr, 11.11.2018

Ok danke! Habe es mir auch durch das Programm Math42 visualisieren lassen und demnach auch festgestellt das ein VZ-Wechsel vorliegen muss, trotzdem war ich verunsichert. :-)

LG

Roman-22

23:23 Uhr, 11.11.2018

Thread bitte abhaken.

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