Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wertebereich bei gebrochen rationaler Funktion

Wertebereich bei gebrochen rationaler Funktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Grenzwert, Wertebereich

Aviatiks aktiv_icon

17:18 Uhr, 18.11.2018

Hallo,

Ich habe folgende Funktion gegeben:

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}

Hierfür soll nun der Wertebreich bestimmt werden, also dachte ich mir betrachte ich den Grenzwert, also Limes.

Da

Z (x) < N (x)

dachte ich, das der Wertebereich aus allen reellen Zahlen größer Null besteht, dem ist nur leider nicht so. Wie finde ich nun den passenden Wertebereich raus?

Irgendwo habe ich einen Denkfehler.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

Ableiten mit der h-Methode
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Wertemenge einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Wertemenge einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man den kleinsten und größten Funktionswert einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wertemenge/Wertebereich einer Potenzfunktion

Wie bestimmt man den Wertebereich einer Potenzfunktion?

pwmeyer aktiv_icon

17:35 Uhr, 18.11.2018

Hallo,

zunächst würde ich den Faktor

x - 1

kürzen.

Dann würde ich den Wertebereich des Nenners bestimmen und auf den Wertebereich von

f

schließen.

Gruß pwm

Aviatiks aktiv_icon

17:52 Uhr, 18.11.2018

Also gekürzt komme ich auf

\frac{1}{x^{2} \cdot (x + 1)}

Wenn ich hier den Grenzwert betrachte geht

f (x)

gegen Null, was ja auch richtig ist.

Habe gerade festgestellt das man daraus aber nicht auf den gesamten Wertebereich schließen kann. Wenn ich mir bspw. die Werte, die ganz nah an meiner Polstelle

x = - 1

und

x = 0

bzw. meiner Definitionslücke

x = 1

sind, anschaue, sehe ich, dass sie gegen

+

und - unendlich gehen. Doch wie finde ich das nun mathematisch heraus, ich kann doch nicht bspw. Einfach für

x = - 1,000001

einsetzten um festzustellen, das der Wert ins negativ unendliche geht? Oder doch?

LG

pwmeyer aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.11.2018

Meinen Vorschlag möchtest Du nicht aufgreifen?

Aviatiks aktiv_icon

21:19 Uhr, 18.11.2018

Würde ich sehr gerne, nur weiß ich leider nicht wie genau ich vorgehen muss. Gekürzt habe ich die Funktion ja bereits, nun weiß ich aber nicht wie ich den Wertebereich bestimmen kann.

LG

pleindespoir aktiv_icon

03:07 Uhr, 19.11.2018

Bei x=-1 liegt eine einfache Polstelle.
Das bedeutet dass von da aus der Graph von plusunendlich auf der einen und von minusunendlich auf der anderen Seite kommt.

pwmeyer aktiv_icon

08:54 Uhr, 19.11.2018

Hallo,

der Nenner ist doch

h (x) := x^{2} \cdot (x + 1),

ein Polynom vom Grad 3. Welchen Wertebereich hat dieses Polynom?

Gruß pwm

Respon

10:37 Uhr, 19.11.2018

Der Definitionsbereich deiner ursprünglichen Funktion

f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}

ist

D = ℝ \ {- 1; 0; 1}

Für diese drei Werte ist die Funktion nicht definiert. Man könnte zwar eine hebbare Lücke schließen, dann würde man aber die Originalfunktion ändern.

\Rightarrow

W = ℝ \ {0; \frac{1}{2}}

Aviatiks aktiv_icon

22:00 Uhr, 19.11.2018

Guten Abend, das stimmt daran habe ich nicht gedacht das an der Polstelle

x = - 1

ein VZ-Wechsel stattfindet da

(x + 1)

ungeraden Grades ist. Somit hat man dann ja auch automatisch einen Wertebereich der allen reellen Zahlen entspricht. Wie ergibt sich nun aber der Wertebreich

W = ℝ

(außer)

(0, \frac{1}{2})

?

Und kann ich automatisch, wenn ich bspw

x^{2} \cdot (x + 1)

x^{3} + x^{2}

ausrechne, anhand des höchsten Grades (hier 3 also ungerade) darauf schließen das ein VZ-Wechsel vorliegen wird und ich somit Wertebereiche positiv als auch negativ unendlichen erhalten werde? Eigentlich muss ich doch erst kürzen oder nicht?

Tut mir leid wegen der ganzen Fragen, aber es interessiert mich nunmal und lässt mir keine Ruhe.

Danke und LG.

Respon

22:07 Uhr, 19.11.2018

Wir hatten

\frac{1}{x^{2} \cdot (x + 1)}

Für

x \to - 1

geht der Nenner

\to 0,

der Wert des ganze Bruch daher entweder gegen

+ \infty

oder

- \infty

.
Der Zähler ist konstant 1 und daher

> 0

Das

x^{2}

im Nenner ist auch in einer Umgebung von

- 1

stets

> 0

.
Das Vorzeichen hängt deshalb nur von

x + 1

ab.
Nähern wir uns von "links", also Werte

< - 1,

so ist

x + 1 < 0 \to - \infty

Nähern wir uns von "rechts", also Werte

> - 1,

so ist

x + 1 \geq \to + \infty

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1448109

1447747

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?