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Winkelfunktionen und Umkehrfunktion - Arkus

Schüler

Tags: Arkus, Cosinus, Sinus, Tangens, Umkehrfunktion, Winkelfunktion

alx269 aktiv_icon

09:54 Uhr, 20.10.2021

Hallo, wir haben in der Berufsschule das Thema Winkelfunktionen, und da es für die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus, Tangens immer zwei mögliche Winkel gibt, der Taschenrechner aber nur eine davon anzeigt, sollen wir beide Lösungen heraus arbeiten.

Dazu haben wir einen Graphen mit den Kurven der Funktionen bekommen, und sollen jeweils für spezielle Funktionswerte die Lösung in Form von Winkelgrößen und Formel angeben.

ich verstehe hierbei ehrlich gesagt nur Bahnhof, und hoffe, hier einen Lösungsansatz erarbeiten zu können. Meine Lösungen habe ich auf einer PNG-Datei beigelegt.

Sicher ist nur wenig davon richtig, wenn überhaupt, ich habe aber immer versucht, mich an dem Graphen zu orientieren, und die Werte der beiden jeweils möglichen Winkel am Graphen abzulesen.

Ich muss zugeben ich würde meine Frage gerne deutlicher formulieren, muss aber gestehen dass ich hier so wenig verstehe, dass ich nichtmal das kann. Ich habe das Aufgabenblatt und meine bisherigen Lösungen beigelegt.

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Freundliche Grüße, Alx269

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

13:20 Uhr, 20.10.2021

Ein kleine Anmerkung zur Begrifflichkeit: Eine Funktion ist immer eindeutig, somit kann auch eine Umkehrfunktion nie zwei oder mehr "Lösungen" haben.

Die Umkehrung (nicht Umkehrfunktion) einer Winkelfunktion wie zB Kosinus ist unendlich vieldeutig. Das heißt, dass es zu einem Kosinuswert (wie zB

0,8)

nicht zwei, sondern unendlich viele zugehörige Winkelwerte gibt. Du erhältst sie grafisch indem du den Graph der Kosinusfunktion mit einer Waagerechten in der Höhe

0,8

schneidest. Du erkennst sicherlich selbst, dass es da unendlich viele Stellen gibt, an denen das passiert.

Was in deiner Aufgabe nun verlangt wird ist, nur jene Werte zu finden, die im Bereich von 0 bis

400

gon liegen und da gibts tatsächlich idR immer zwei Stück.

Die Arkusfunktionen am TR (die dort leider mit

{...}^{- 1}

beschriftet sind), liefern immer einen eindeutigen Wert.
arcsin wird dir immer nur Winkel von

- 100

gon bis

+ 100

gon iefern und
arccos wird dir immer nur Winkel im Bereich bon 0 bis

200

gon anbieten.

Du sollst nun herausfinden, wie du mithilfe des Taschenrechnerwerts die beiden Lösungen zB der Gleichung

cos α = 0,8

bekommst, welche im Bereich von 0 bis

400

gon liegen.

Sehen wir uns nun die zweite Zeile in deiner Tabelle an, also die erste, die von dir ausgefüllt wurde.
Der TR lieferte dir rund

41

gon. Warum meinst du, dass du für

α_{1}

den negativen Wert verwenden solltest? Es ist schon richtig, dass auch

cos (- 41^{g}) \approx 0,8

ist, aber

- 41

gon liegt doch nicht im geforderten Bereich von 0 bis

400

gon!
Der Taschenrechner-Wert liegt aber im geforderte Bereich, also warum nimmst du nicht gleich diesen unverändert als

α_{1},

so wie das die Musterlösung auch bei sin getan hatte. Ich sehe schon, dass du den TR-Wert dann als

α_{2}

genommen hast.
Jetzt ist es deine Aufgabe, einen weiteren Winkelwert zu suchen, der ebenfalls den Kosinuswert

0,8

hat UND im Bereich

[0^{g;} 400^{g} [

liegt.

- 41

gon scheidet aus, weil das nicht in

[0^{g};, 400^{g} [

liegt. Findest du noch eine weitere Stelle, die infrage kommt?

In der nächsten Zeile bei

tan (α) = 0,8

schreibst du wieder

α_{1} = - α

. Hier ist das leider doppelt falsch. Einerseits wieder, weil dein

α_{1} \approx 43^{g}

nicht in

[0^{g};, 400^{g} [

liegt, aber auch weil ja

tan (43^{g})

NICHT

0,8

ist!! Schau auf die Zeichnung

- tan (43^{g}) \approx - 0,8!

alx269 aktiv_icon

14:36 Uhr, 20.10.2021

Hi Roman, deine Antwort hat mir sehr gut weitergeholfen. Danke vielmals! :-)

Bin auf folgendes gekommen, habe es als PNG beigelegt. Habe quasi alle Werte einfach abgelesen, für die positiven und negativen Kurven, und alle Punkte zwischen 0 und

400

gon auf α bezogen und dann eben α Minus oder Plus so und so viel... Hoffe es macht diesmal mehr Sinn, wäre sehr cool wenn jemand die Ergebnisse prüfen kann, Danke

Roman-22

15:17 Uhr, 20.10.2021

Soweit ich sehe ist jetzt alles richtig.

Generell gilt: Liegt ein Wert außerhalb des gewünschten Bereichs, so ist so oft wie nötig die Periode zu addieren (oder auch zu subtrahieren). Periode ist bei sin und

cos 400 g o n,

beim tan nur

200 g o n

.

Die "zweite" Lösung bei sin ist

200 g o n - α

Die "zweite" Lösung bei

cos

ist

- α,

und wenn der negative Wert nicht gewünscht ist, dann eben noch

400 g o n

dazu, also

400 g o n - α,

wie du ja auch geschrieben hast.
Bei tan gibts eigentlich keine wesentlich verschiedene "zweite" Lösung, aber da die Tangensfunktion nur die Periode

200 g o n

hat, bekommt man idR eine weitere Lösung innerhalb eines bereichs von

400 g o n,

indem man zum TR-Wert eben noch die Tangens-Periode

200 g o n

addiert.

Ich hätte bei

sin α = - 0,8

die beiden Werte

α_{1}

und

α_{2}

vertauscht. Also erst den TR-Wert unverändert nehmen und ihn nur durch Addition von

400 g o n

in den gewünschten Bereich bringen und dann erst die "zweite" Lösung mittels

200 g o n - α

. Aber das ist reine Geschmackssache und dein Ansatz hat dafür den Vorteil, dass dadurch die beiden Werte in aufsteigender Reihenfolge angegeben werden.

Eine formale Anmerkung noch. Im Grunde ist es falsch, zB zu schreiben

α_{2} = 200 - α

. Richtig wäre

α_{2} = 200 g o n - α

oder

α_{2} = 200^{g} - α,

denn

200

allein steht, wenn es um einen Winkel geht, für das Bogenmaß (Pseudoeinheit Radiant). Aber dieser Fehler muss bereits der Musterlösung in der ersten Zeile angelastet werde ;-)

Darf ich noch fragen, welche Ausbildung du machst. Mir ist bisher nur bekannt, dass Neugrad

(g o n)

als Winkelmaß im Vermessungswesen verwendet werden.

alx269 aktiv_icon

16:00 Uhr, 20.10.2021

Hi nochmal, danke für die übersichtliche Erklärung deines Lösungsansatzes, jetzt blicke ich langsam mehr durch, und ich verstehe auch alles was du geschrieben hast. Top, Danke dafür!

Du gehst richtig in deiner Annahme, ich mache eine Ausbildung als Vermessungstechniker, daher die Einheit Gon. LG

HAL9000

17:24 Uhr, 20.10.2021

Eine Ergänzung zur Anmerkung von Roman-22 hinsichtlich der Winkeleinheiten:

So wir das Prozent gemäß

1 % = \frac{1}{100} = 0.01

ein dimensionsloser Faktor ist, so verhält es sich auch mit den Winkeleinheiten

1^{\circ} = \frac{π}{180}

sowie

1 gon = \frac{π}{200}

. Dies berücksichtigend geht alles konform mit der Tatsache, dass die Argumente der Winkelfunktionen grundsätzlich im Bogenmaß zu erfolgen haben, also z.B.

\sin (59.0334 gon) = \sin (59.0334 \cdot \frac{π}{200}) = 0.8

, usw.

D.h., Winkel OHNE Maßeinheit kennzeichnen grundsätzlich Bogenmaß. Das "Radiant" setzt man nur dahinter um zu verdeutlichen, dass diese dimensionslose Zahl einen Winkel kennzeichnet, tatsächlich ist in physikalischen Einheiten ausgedrückt

1 rad = 1

.

Die TR-Einstellungen für DEG bzw. GRAD nehmen einem lediglich diese Vorab-Multiplikationen des Arguments mit

\frac{π}{180}

bzw.

\frac{π}{200}

ab (bzw. bei den Arcus-Funktionen dann entsprechende Divisionen des Funktionswertes). Deswegen ensteht mitunter der Eindruck, es gäbe mehrere Sinus-Funktionen - für jede Winkelmaßeinheit eine - was aber nicht stimmt.

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