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2 tangenten schnittpunkt mit Parabel

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: berührungspunkte, Parabel, Tangente

Kamui aktiv_icon

02:00 Uhr, 25.11.2008

Hallo Leute, ich habe eine Frage. Ich habe eine Parabel mit Y=x^2. Dann habe ich zwei Tangenten, die einen gemeinsamen Schnittpunkt bei A(-2/-0,5). Die Frage lautet: An welchen Punkten tangieren die beiden Tangenten die Parabel. Wenn mir jemand dazu eine Lösung geben würde, wäre ich sehr dankbar.

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Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
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Schnittpunkte bestimmen

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Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreise und Lagebeziehungen
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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BjBot aktiv_icon

02:32 Uhr, 25.11.2008

B_{1} (- 2 + \frac{3}{\sqrt{2}} ∣ 8.5 - \frac{12}{\sqrt{2}})

B_{2} (- 2 - \frac{3}{\sqrt{2}} ∣ 8.5 + \frac{12}{\sqrt{2}})

Kamui aktiv_icon

11:55 Uhr, 25.11.2008

Okay, wie ich sehe, muss man die Parbel mit der Tangente gleichsetzen. Also: x^2=mx+b. Dann kann man die Formel umstellen auf x^2-mx-b=0. Für m=(y1-y2)/(x1-x2). Dann also: x^2-((y1-y2)/(x1-x2))x-b=0 jetzt könnte man die pq-Formel bzw. die quadratische Ergänzung anwenden: x1,2=-((y1-y2)/(x1-x2))/2+-Wurzel((y1-y2)/(x1-x2))^2-b oder -((y1-y2)/(x1-x2))+-Wurzel(((y1-y2)/(x1-x2))^2-4b)/2. Aber wie komme ich dann auf dein Ergebnis. Ich habe drei Unbekannte, denn y1=-2 und x1=-0,5. Also sind b, y2 und x2 unbekannt. Kannst du mir da noch einmal helfen? Danke im Voraus.

Edddi aktiv_icon

12:33 Uhr, 25.11.2008

Die Antwort von BjBot erfüllt die beiden Lösungen für

x = - 2, y = - 0,5

Du hast den gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Tangenten auch mit

(- 2; - 0,5)

angegeben. Man schreibt ja in der Form

P (x; y) .

Deine Skizze bezeichnet den Schnittpunkt

D

aber mit

D (- 0,5; - 2),

damit kommt natürlich eine andere Lösung raus.

So, jetzt die Lösungsansätze (eigentlich ganz einfach, ohne irgendetwas gleichzusetzen):

Ermittel die Tangentenfunktion für ein beliebiges

x 0

T(x)=mx+n

(m

ist die Steigung im Punkt

x 0,

also die Ableitung von

x 0^{2} = 2 \cdot x 0)

T (x) = 2 \cdot x 0 \cdot x + n

(Diese Tangentenfunktion hat für

x = x 0

die gleiche Lösung wie unsere Funktion

y = x^{2},

also setze ich

x = x 0

und

T (x) = x 0^{2})

x 0^{2} = 2 \cdot x 0^{2} + n \to n = - x 0^{2}

(Dieses

n

setze ich wieder in meine Tangentenfunktion)

T (x) = 2 \cdot x 0 \cdot x - x 0^{2}

(diese Tangentenfunktion soll durch Punkt

(a; b)

gehen, also setze ich

x = a

und

T (x) = b

und erhalte:

b = 2 \cdot a \cdot x 0 - x 0^{2}

0 = - x 0^{2} + 2 \cdot a \cdot x 0 - b

0 = x 0^{2} - 2 \cdot a \cdot x 0 + b

(Diese quadratische Gleichung für

x 0

lösen:

x 0 = a \pm \sqrt{a^{2} - b}

Das war's schon, jetzt hast du beide

x 0,

an denen die Tangenten durch deinen Punkt

(a; b)

gehen.

ich setze mal

a = - 2; b = - 0,5

x 0 = - 2 \pm \sqrt{4 + 0,5} = - 2 \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = - 2 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}

wie in deiner Skizze setze ich mal

a = - 0,5; b = - 2

x 0 = - 0,5 \pm \sqrt{0,25 + 2} = - 0,5 \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = - 2 \pm \frac{3}{2}

...verstanden??

:-)

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