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Funktion aus Sinus und Cosinus zusammenfassen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Cosinus, Sinus, Trigonometrie

Goldmeister aktiv_icon

10:20 Uhr, 10.07.2020

Hallo. Wenn ich eine Funktion

f (x) = a * s i n (x) + b * c o s (x)

(wobei a und b reele Zahlen sind) habe, wie kann ich diese mit lediglich einem Term, der nur sinus oder cosinus beeinhaltet ausdrücken?

Ich habe mir schon überlegt, dass man das Maximum berechnen kann und das dann als Vorfaktor (Amplitude) verwendet. Wie genau man bei solch einer Funktion das Maximum bestimmt, weiß ich aber auch nicht.

Danke schon im Voraus.

Holger

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

10:44 Uhr, 10.07.2020

Meinst du das :

a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot sin (x + φ),

wobei

φ = a r c t a n (\frac{b}{a})

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10:46 Uhr, 10.07.2020

sin (x) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (x)}

cos (x) = \sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

matheguru.com/allgemein/formelsammlung-trigonometrie.html

N8eule

11:33 Uhr, 10.07.2020

Hallo
Der Ansatz erfolgt über die trigonometrische Additionstheorem:

f = a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = D \cdot sin (x + φ)

Additionstheorem:

f = a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = D \cdot sin (x + φ) = D \cdot sin (x) \cdot cos (φ) + D \cdot sin (φ) \cdot cos (x)

a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = [D \cdot cos (φ)] \cdot sin (x) + [D \cdot sin (φ)] \cdot cos (x)

Jetzt ersiehst du daraus, das wird gleich für:

a = D \cdot cos (φ)

b = D \cdot sin (φ)

Zwei Gleichungen für die zwei Unbekannte.
Wenn du das umstellst, dann bekommst du die von Ledum benannte Umrechnung:

Amplitude:

D = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Phasenverschiebung:

tan (φ) = \frac{b}{a}

Mathe45

11:56 Uhr, 10.07.2020

Phasenverschiebung : In welchen Einheiten werden denn Phasenverschiebungen angegeben ?

N8eule

12:13 Uhr, 10.07.2020

@Mathe45

Ebenso wie für Winkel allgemein gelten auch für Phasenverschiebungen im Besonderen die gängigen Winkeleinheiten:

>

Grad = °

>

rad

= 1

>

gon = "Neugrad"

Mathe45

12:19 Uhr, 10.07.2020

Dann wäre aber die korrekte Schreibweise:
Phasenverschiebung

: φ = a r c t a n (\frac{b}{a})

( siehe "Respon" )

N8eule

12:29 Uhr, 10.07.2020

Korrekt.

Oder wenn ich in meinen Worten ergänzen darf:
Die Phasenverschiebung ist immer der Winkel, in dem Fall das

' φ'

.

Und die Gleichungen

tan (φ) = \frac{b}{a}

und

φ =

arctan(b/a)
sind äquivalent.

Mathe45

12:42 Uhr, 10.07.2020

Und noch eine Stelle im Beweis ist etwas "unscharf".
" jetzt ersiehst du daraus ..." sollte man bei Beweisen tunlichst vermeiden.

a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = r \cdot sin (x + φ)

r

und

φ

unbekannt,wir setzen allgemein an:

a = r \cdot cos (φ)

b = r \cdot sin (φ)

Gleichungen quadrieren und addieren

\Rightarrow

a^{2} + b^{2} = r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ) + r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) = r^{2} \cdot ({cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ)) = r^{2}

\Rightarrow r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Gleichungen dividieren

\frac{b}{a} = \frac{sin (φ)}{cos (φ)} = tan (φ)

\Rightarrow φ = a r c t a n (\frac{b}{a})

N8eule

12:47 Uhr, 10.07.2020

Viel schlimmer:
Ich habe "Ledum" benannt, und eigentlich "Respon" gemeint.
Sorry für mein arg groblistiges Täuschen der Urheberrechte...

Mathe45

12:49 Uhr, 10.07.2020

Na ja, allzu viele Damen tummeln sich ja nicht in diesem Forum.
Wir sollten über eine Quotenregelung nachdenken !

HAL9000

13:14 Uhr, 10.07.2020

Zu beachten ist, dass die Formel von Respon nur für

a > 0

gültig ist. Im Fall

a < 0

ist zur Phase

φ

noch

π

zu addieren (oder subtrahieren, ist egal), und für

a = 0

hat man

φ = \pm \frac{π}{2}

je nach Vorzeichen von

b

.

Um diese ganze Fallunterscheidung nicht jedesmal durchführen zu müssen, hat man speziell für diese Polarkoordinatenrechnung die Funktion

φ = atan2 (b, a)

"erfunden". ;-)

Goldmeister aktiv_icon

14:11 Uhr, 10.07.2020

Hallo Mathe45. Könnten Sie den ersten Umformungsschritt von

a * s i n (x) + b * c o s (x) = r * s i n (x + u)

a = r * s i n (u)

und

b = r * c o s (u)

weiter erläutern? Ich komme da nicht ganz mit. Danke

Roman-22

17:05 Uhr, 10.07.2020

@Eule

>

Und die Gleichungen tan(φ)=ba und φ= arctan(b/a) sind äquivalent.
NEIN! Das sind sie keineswegs! arctan() ist per definitionem eine eindeutige Funktion, wohingegen die Umkehrung der tan()-Funktion eine mehrdeutige Relation ist. Die erste Gleichung hat also unendlich viele Lösungen für

φ,

die zweite liefert einen eindeutigen Wert für

φ

(und der ist nur für

a > 0

auch der richtige).

Wie oben schon erwähnt wurde ist

φ = a r c t a n (\frac{b}{a})

auch nicht der Weisheit letzter Schluss - es bedarf der in vielen Programmen und Programmiersprachen verfügbaren atan2 Funktion (auch arctan2()), welche leider nicht einheitlich implementiert ist - manchmal atan2(b,a) und manchmal aber auch atan2(a,b).

@Goldmeister: Ist dir das Rechnen mit komplexen Zahlen bekannt. Falls ja, geht damit die Addition gleichfrequenter Sinusschwingen am bequemsten (auch wenn in letzter Konsequenz die gleichen Formel wie bereits genannt im Hintergrund am Werk sind).

HAL9000

17:27 Uhr, 10.07.2020

@Roman-22

Den Polarwinkel einfach in allen Konstellationen per

\arctan (\frac{b}{a})

berechnen zu wollen gehört in meine Top-Ten-Liste der weit verbreiteten Rechen-Irrtümer. Wie man sieht, sind selbst einige gestandene Boardmitglieder nicht vor ihm gefeit. ;-)

Roman-22

22:10 Uhr, 10.07.2020

@HAL9000
Ja, es ist ja auch zu verlockend und gefeit ist vor Fehlern und Schnellschüssen bekanntlich niemand. Die Mehrdeutigkeit der Umkehrungen der Winkelfunktionen kann durchaus auch recht kniffelig sein. Aber die Probleme fangen oft ja auch schon damit an, dass manche völlig unbedarft zB

cos x = \sqrt{1 - {sin}^{2} x}

setzen ohne dabei auf die Bereiche für

x

zu achten, in denen das auch wirklich richtig ist.

@Goldmeister

>

Hallo Mathe45. Könnten Sie den ersten Umformungsschritt von

a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x) = r \cdot sin (x + u)

a = r \cdot sin (u)

und

b = r \cdot cos (u)

weiter erläutern?
Da Mathe45 noch nicht geantwortet hat, von mir eine Erläuterung.

Es geht um die Anwendung des Additionstheorems

sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β

auf die rechte Seite, also auf

r \cdot sin (x + u)

.
Man erhält aus der von dir zitierten Gleichung dann

a \cdot sin x + b \cdot cos x = r \cdot (sin x \cdot cos u + cos x \cdot sin u)

oder ausmultipliziert

a \cdot sin x + b \cdot cos x = r \cdot sin x \cdot cos u + r \cdot cos x \cdot sin u

Und jetzt vergleiche links und rechts die Koeffizienten von

sin x

und

cos x

und setze sie jeweils gleich:
Für

sin x : a = r \cdot cos u

Für

cos x : b = r \cdot sin u

Das kann man nun als Gleichungssystem in

r

und

u

auffassen und man erhält für die Amplitude

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

.
Für die Phasenverschiebung

u

hängt es

i . W

. von a ab, was genau rauskommt:
Für

a > 0

gilt

u = a r c t a n \frac{b}{a}

Für

a = 0

gilt

u = a r c t a n \frac{b}{a} \pm π

(je nach Geschmack bzw. Konvention kann man

π

addieren oder subtrahieren)
Für

a = 0

hängt es zusätzlich noch von

b

ab:

a = 0 \land b > 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}

a = 0 \land b < 0 \Rightarrow u = - \frac{π}{2}

(oder je nach Geschmack auch

u = 3 \frac{π}{2})

a = b = 0 : u

ist undefiniert, oft wird in diesem Fall aber der Bequemlichkeit halber

u = 0

gesetzt.
Und genau diese aufwändige Fallunterscheidung hat man in die Funktion

a t a n 2

(oder auch

a r c t a n 2)

eingebaut. In mathematischen Texten wird sie aber eher selten verwendet, aber sie ist in vielen Programmen, so zB auch in Excel, implementiert. Man muss, wie oben schon erwähnt, aber aufpassen, wie die Implementation in Bezug auf die Reihenfolge der Funktionsargumente erfolgt ist, denn das ist leider nicht einheitlich. Der Eintrag in Wikipedia und die Implementationen in Excel oder Calc verwenden

a t a n 2 (a, b),

hingen ist die Reihenfolge der Argumente bei der Implementation in Programmiersprachen wie

C, C + +,

C#, Java oder Python genau umgekehrt, also

a t a n 2 (b, a)

.
Mathematisch auf der sicheren Seite ist man, wenn man einen Ausflug in die komplexen Zahlen unternimmt und

u = a r g (a + i \cdot b)

schreibt. Die Funktion

a r g,

welche das Argument

(=

die Phase, "den Winkel") einer komplexen Zahl zurück liefert, ist in mathematischen Texten deutlich etablierter als die

a t a n 2

Funktion.

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