Hochpunkt/Tiefpunkt bei Sinus ausrechnen

Hi,

die erste Ableitung stimmt, die zweite Ableitung lautet:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-128\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}$

hinreichende Bedingung für Extrempunkte:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=0\wedge {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\ne 0}$

also: ${\displaystyle 32\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)=0}$

erste Überlegung : wann ist die cos-Funktion gleich Null?

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}$ (erste positive Lösung)

d.h.

$$\begin{gathered} {\displaystyle 4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2=\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2} \\ 4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}+2 \\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}+2}{4}=\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4}{8}\approx 0.89 \\ } \end{gathered}$$

jetzt noch mittels 2. Ableitung überprüfen, y-Wert bestimmen

Gruß pantau