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Schnittpunkt berechnen: sin(x/2) = cos(x)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Kosinus, Schnittpunkt, sin

ZickZakk aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.04.2012

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein Problem bei meinem aktuellen Beleg. Als Teil einer Aufgabe muss ich den Schnittpunkt von

sin (\frac{x}{2}) = cos (x)

bestimmen. Wie mache ich das am besten?

Mein Ansatz bisher:

sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}

{sin}^{2} (\frac{x}{2}) + {sin}^{2} (x) = 1

Mich behindert das

\frac{x}{2}

. Habt ihr nen Tipp, wie man da rangehen kann?

Danke schonmal im Vorraus.

Georg :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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Matheboss aktiv_icon

17:51 Uhr, 19.04.2012

Formel für den halben Winkel (nach Bronstein-Semendjajew)

sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (1 - cos (x))}

Wie man auf die Formel kommt, weiß ich im Augenblick auch nicht. Sie hilft Dir aber weiter, ich habe es ausprobiert.

x_{1} = - π

x_{2} = \frac{1}{3} \cdot π

usw.

Bummerang

08:18 Uhr, 20.04.2012

Hallo,

cos (a + b) = cos (a) \cdot cos (b) - sin (a) \cdot sin (b)

mit

a = b = \frac{x}{2}

ergibt sich:

cos (x)

= cos (\frac{x}{2} + \frac{x}{2})

= cos (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2}) - sin (\frac{x}{2}) \cdot sin (\frac{x}{2})

= {cos}^{2} (\frac{x}{2}) - {sin}^{2} (\frac{x}{2})

= 1 - {sin}^{2} (\frac{x}{2}) - {sin}^{2} (\frac{x}{2})

= 1 - 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{x}{2})

Also:

sin (\frac{x}{2}) = 1 - 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{x}{2})

2 \cdot {sin}^{2} (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0

{sin}^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cdot sin (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} = 0

z^{2} + \frac{1}{2} \cdot z - \frac{1}{2} = 0

z_{1,2} = - \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{2}}

z_{1,2} = - \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{8}{16}}

z_{1,2} = - \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}}

z_{1,2} = - \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}

z_{1} = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - 1 \Rightarrow sin (\frac{x}{2}) = - 1 \Rightarrow \frac{x_{1}}{2} = \frac{3}{2} \cdot π + 2 \cdot k \cdot π; k \in ℤ

\Rightarrow x_{1} = 3 \cdot π + 4 \cdot k \cdot π

z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_{2,3}}{2} = \frac{π}{2} \pm \frac{π}{3} + 2 \cdot k \cdot π \Rightarrow x_{2,3} = π \pm \frac{2}{3} \cdot π + 4 \cdot k \cdot π

\Rightarrow x_{2} = π - \frac{2}{3} \cdot π + 4 \cdot k \cdot π = \frac{π}{3} + 4 \cdot k \cdot π

UND

x_{3} = π + \frac{2}{3} \cdot π + 4 \cdot k \cdot π = \frac{5}{3} \cdot π + 4 \cdot k \cdot π; k \in ℤ

Die von Matheboss angegebenen Lösungen etsprechen (wenn man sein "usw." als Periodenangabe interpretiert) den Lösungen

x_{1}

(mit

k = - 1)

und

x_{2}

(mit

k = 0)

. Die dritte Lösung ist bei ihm leider verlorengegangen...

ZickZakk aktiv_icon

18:30 Uhr, 20.04.2012

Vielen Dank für die super Antwort. Genau der Ansatz hat gefehlt.

Bis zur nächsten Unklarheit ;-)

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