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Umkehrfunktionen sin, tan, cos?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kosinus, Sinus, Sonstiges, Tangens, Umkehr

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19:36 Uhr, 08.11.2012

Hallo Hallo!

Nun, ich habe leider zwei Mathe-Vorlesung verpasst, das Skript ist nicht online und alles was mir ein Komiliton per sms schickte, war "Sieh dir Umkehrfunktionen an"

-_{-}

Eh ja.
Bin im Moment krank Bett, glaub morgen schaff' ich's auch nicht in die Uni.

Könntet ihr mir einleuchtend erklären was Umkehrfunktionen sind? Besonders was genau ist der arcsin? arctan? arcos?

Habe online dann eine Beispielaufgabe vom Prof. gefunden dazu, habe sie in den Anhang gesteckt. Aufgabe a dazu ist:

(a)

Geben Sie Definitionsbereich Df und Wertebereich Wf von

f (x) =

arctan

x

an.

Könnt ihr mir vllt 'nen Anstoß geben was ich dazu machen muss?

PS: Stört es, dass der

A

von 2 Personen genutzt wird? Meine Schwester und ich teilen uns den PC, daher auch hier und da ein paar Accounts.^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

19:40 Uhr, 08.11.2012

Fangen wir mit dem tan an.

anonymous

19:42 Uhr, 08.11.2012

Der tan ist eine periodische Winkelfunktion.

anonymous

19:43 Uhr, 08.11.2012

Siehe

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

anonymous

19:46 Uhr, 08.11.2012

Die Periode ist

π,

dann fängt das Ganze wieder von vorne an.
An den Stellen

\frac{π}{2}; - \frac{π}{2}; \frac{3 \cdot π}{2}

usw.
ist die Funktion nicht definiert

anonymous

19:48 Uhr, 08.11.2012

Die Funktion

f (x) = tan (x)

ist eine "lupenreine" Funktion, da jeder x-Wert aus der Definitionsmenge GENAU einem

tan (x)

zugeordnet werden kann.
Ist der tan somit klar?

anonymous

19:56 Uhr, 08.11.2012

Zu jedem Winkel gibt es GENAU einen tan.
Umkehrung:
Zu jedem tan gibt es - leider - unendlich viele Winkel.
Das wäre daher keine Funktion.
Also muss ich den tan auf das "Hauptintervall" einschränken

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],

dann kann ich umkehren.

anonymous

20:01 Uhr, 08.11.2012

Die Umkehrfunktion g(x)=arctan(x) ist auf ganz

ℝ

definiert, der Wertebereich ist aber nur

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

anonymous

20:08 Uhr, 08.11.2012

Zur Ableitung komme ich so ( mathematisch nicht ganz exakt ).

y = tan (x)

\frac{d y}{d x} = 1 + {tan}^{2} (x)

(setze ich als bekannt voraus)

x

und

y

tauschen die Plätze

x = tan (y)

nach

y

auflösen
y=arctan(x)
Ableitung:

x = tan (y) \Rightarrow \frac{d x}{d y} = 1 + {tan}^{2} (y) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + {tan}^{2} (y)}

{tan}^{2} (y)

ist aber

x^{2}

\Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Das ist kein strenger Beweis und soll nur die Zusammenhänge erklären.

Utakata aktiv_icon

20:13 Uhr, 08.11.2012

Als erstes, vielen Dank, für deine schnelle und ausführliche Antwort, ich sehe es mir gerade etwas genauer an um's nachzuvollziehen. :-D)
Kann evtl.

5 - 10

Minuten dauern..^^ *auf Antibiotika*

Utakata aktiv_icon

21:10 Uhr, 08.11.2012

y' (x) = 1 + tan 2 (x)

Ok, wusste nicht, dass das die Ableitung des tan ist, nehm einfach an das stimmt so, muss ich mal nachsehen. :-D)

x = tan (y)

nach

y

auflösen
y=arctan(x)

Auch interessanter Schritt, wäre ich nie draufgekommen, kann's auch nicht

100 %

nachvollziehen, aber ok.

{tan}^{2} (y)

ist aber

x^{2}

⇒

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

dachte

{tan}^{2} (y)

ist

{tan}^{2} (x)

⊙ o

Eh, sorry, jetzt erst einigermaßen verstanden. Diese Antibiotika schränken mir echt das Hirn ein^^''

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