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Vereinfachen von Termen mit sin, cos, tan

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Kosinus, Sinus, Tangens, Term, Umformen

anonymous

16:38 Uhr, 27.09.2009

Hallo zusammen smile

Ich habe Probleme beim Verständnis des LÖSUNGSWEGS von vier Teilaufgaben:
Die Lösungen habe ich bereits im Heft aber ich kann den Weg dorthin nicht so ganz nachvollziehen.

Ich hoffe hier kann mir jemand helfen, indem er/sie die einzelnen Umformungsschritte nennt.

1 .) cos α + sin α \cdot tan α = \frac{1}{cos α}

2 .)

1/(1+tan²alpha) = cos²alpha

3 .) tan

alpha/sqrt(1+tan²alpha)

= sin α

4 .) sin

hoch

4 α - cos

hoch

4 α =

sin²alpha - cos²alpha

Liebe Grüße, Flo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Rechnen mit Klammern
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerCommander aktiv_icon

16:41 Uhr, 27.09.2009

tja, was soll man da großartig erklären. das sind eben die trigonometrischen beziehungen. die stehen in jedem gut sortiertem tafelwerk. das hilft da immer.

anonymous

16:46 Uhr, 27.09.2009

ja, aber wir haben ja nur ein paar beziehungen gehabt, mit denen ich auch schon rumexperimentiert habe, aber zu keiner lösung gekommen bin.

Also wir hatten
1. die Komplementbeziehung, also

sin α =

cos(90°-alpha) etc.

2. mit dem Satz des Pythagoras sin²alpha+cos²alpha

= 1

3. aus dem Satz folgend

sin α =

sqrt(1-cos²alpha)

4.

tan α = \frac{sin α}{cos α}

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16:48 Uhr, 27.09.2009

na mit denen kannst du doch alles lösen. versteh das problem nicht.

anonymous

16:51 Uhr, 27.09.2009

Das Problem ist, dass ich das eben nicht kann

: (

Aber es können will :-D)

Also nochmal, es geht mir um die Umformungsschritte dahin, und ich krieg das nicht auf die Reihe

: (

anonymous

16:53 Uhr, 27.09.2009

Ach und noch etwas: Wir haben das bisher nur für rechtwinklige Dreiecke behandelt, ich weiß nicht ob das was zur Sache tut^^

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17:07 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

die erste Aufgabe lautet

cos α + sin α \cdot tan α = \frac{1}{cos α}

Und du weißt, dass

tan (α) = \frac{sin (α)}{cos (α)}

Ersetze doch mal.

Gruß Shipwater

anonymous

17:14 Uhr, 27.09.2009

Ja okay, dann hätte ich also

cos α +

sin²alpha/cos

α

.

Aber ich weiß nicht, was mir das bringen soll

: - [

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17:16 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

genau du hast dann:

cos (α) + \frac{{sin}^{2} (α)}{cos (α)} = \frac{1}{cos (α)}

Bilde jetzt links vom Gleichheitszeichen mal den Hauptnenner.

Gruß Shipwater

anonymous

17:21 Uhr, 27.09.2009

JA :-D) :-D)

:-D) :-D) wieso bin ich da nicht direkt drauf gekommen

: (

also das würde bedeuten dass ich

cos (α)

quasi mit

cos (α)

erweitern müsste.

Dann könnte ich die beiden Brüche zusammenfassen.

Dann hätte ich im Zähler sin²(alpha)+cos²(alpha), also 1.

Und im Nenner bleibt

cos (α)

.

JA :-)

Danke :-D) :-D)

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17:22 Uhr, 27.09.2009

Ja das ist schon korrekt, aber was ist somit die Lösung der Gleichung?

Gruß Shipwater

anonymous

17:23 Uhr, 27.09.2009

\frac{1}{cos (α)}

natürlich höhö :-)

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17:33 Uhr, 27.09.2009

Hallo

Das meinte ich doch nicht. Das ist doch eine Gleichung. Du hast dann

\frac{1}{cos (α)} = \frac{1}{cos (α)}

Für welche

α

ist der Term also erfüllt?

Gruß Shipwater

anonymous

17:35 Uhr, 27.09.2009

? naja für alle, also allgemeingültig oder nicht?

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17:36 Uhr, 27.09.2009

Richtig. Kommst du jetzt bei der zweiten Aufgabe weiter?

Gruß Shipwater

anonymous

17:41 Uhr, 27.09.2009

ja ich denke schon:

also im Grunde das selbe Spielchen.

1/(1+tan²alpha) = 1/(1+sin²alpha/cos²alpha)

dann im Nenner die 1 mit cos²alpha erweitern

= 1/((cos²alpha+sin²alpha)/cos²alpha)) das wäre 1/(1/cos²alpha)

und das ist, tada cos²alpha

ich hoffe du kannst mir folgen :-D) :-D)

aber das läuft ja wirklich wie am schnürchen hier jetzt :-) :-)

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17:43 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

keine Angst ich kann folgen ;-)

Die Restlichen schaffst du also auch, nehme ich an.

Gruß Shipwater

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17:46 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

jetzt habe ich erst verstanden. Das sollen gar keine Gleichungen sein :-) Sondern Terme und wenn man diese vereinfacht soll das was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht, rauskommen. Und ich dachte schon warum die Lösungen von all den Gleichungen allgemeingültig sind.

Gruß Shipwater

anonymous

17:50 Uhr, 27.09.2009

:-) Hehe dann ist ja gut.

Also die 3. Aufgabe konnte ich jetzt auch lösen :-)

Ich glaub mit dem dir vorrechnen lasse ich mal wenn du das eh kapierst

: - O

Ich bin blöderweise einfach nicht darauf gekommen mal zu erweitern :-D) :-D)

Son Mist :-P)

Aber gut, dafür ist ja dann sowas hier richtig hilfreich :-)

Vielen, vielen Dank.

Und jetzt gehts an die letzte :-)

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17:52 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

mach das. Wenn du irgendwo hängen bleibst, weißt du ja wo du nachfragen kannst.

Gruß Shipwater

anonymous

18:06 Uhr, 27.09.2009

Um ehrlich zu sein bleibe ich ich immernoch an der letzten Aufgabe hängen

: (

Das funktioniert aber nicht nach dem selben Prinzip wie bei den 3 Aufgaben davor oder?

: - [

Wenn das der Fall ist, dann

. .

. dann :-D) :-D) weiß ich auch nicht^^

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18:08 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

das Stichwort für die letzte Aufgabe ist:

Dritte binomische Formel:

(a^{2} - b^{2}) = (a + b) (a - b)

=)

Gruß Shipwater

anonymous

18:15 Uhr, 27.09.2009

Meinst du dann damit also

(sin²alpha)² - (cos²alpha)² = (sin²alpha

+

cos²alpha)

\cdot

(sin²alpha - cos²alpha) ?

Wenn ja, dann weiß ich trotzdem nicht was mir das bringen soll :-D) :-D)

: (

ohje

anonymous

18:16 Uhr, 27.09.2009

AH MOMENT :-D)

JETZT HAB ICHS

wo ich das grad lese :-D)

anonymous

18:17 Uhr, 27.09.2009

= sin²alpha - cos²alpha

Alles klar, super :-D) :-D)

Ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll :-)

Shipwater aktiv_icon

18:18 Uhr, 27.09.2009

Hallo,

gern geschehen ;-)

Gruß Shipwater

erdftzwg aktiv_icon

17:30 Uhr, 24.02.2017

Hallo, wie vereinfacht man die 2. Aufgabe?

Bummerang

17:47 Uhr, 24.02.2017

Hallo,

1. Mache für eigene Fragen bitte immer eigene Threads auf!

2. Das ist eine Tautologie,

d . h

. wenn man die versuchen würde zu vereinfachen käme man am Ende auf

0 = 0!

supporter aktiv_icon

17:48 Uhr, 24.02.2017

{tan}^{2} a = \frac{{sin}^{2} a}{{cos}^{2} a}

Hauptnenner bilden

. .

Atlantik aktiv_icon

17:58 Uhr, 24.02.2017

2 .) \frac{1}{1 + {tan}^{2} (α)} = \frac{1}{1 + \frac{{sin}^{2} (α)}{{cos}^{2} (α)}} = \frac{1}{\frac{{cos}^{2} (α) + {sin}^{2} (α)}{{cos}^{2} (α)}} = \frac{{cos}^{2} (α)}{{cos}^{2} (α) + {sin}^{2} (α)} = \frac{{cos}^{2} (α)}{1} = {cos}^{2} (α)

mfG

Atlantik

erdftzwg aktiv_icon

22:12 Uhr, 24.02.2017

Aha, der erste Schritt ist klar, aber der zweite??

wieso ist

1 + sin 2 \frac{α}{cos 2} (α)

im Nenner das gleiche wie

cos 2 (α) + sin 2 \frac{α}{cos 2} (α)

erdftzwg aktiv_icon

22:12 Uhr, 24.02.2017

Wie kann man diesen Term vereinfachen?

sin 2 (α) - sin 4 (α) : cos 2 (α) - cos 4 (α)

Die Zahlen hinter sin und

cos

sind Exponenten...

Shipwater aktiv_icon

16:06 Uhr, 17.03.2017

Eröffne bitte einen eigenen Thread und schreibe dein Anliegen dann am besten auch leserlich auf: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

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