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Volumen berechnen, Parabel.

Universität / Fachhochschule

Tags: Lebesgue-Maß, Parabel, Volumen

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17:43 Uhr, 29.01.2011

hallo!

Ich wollte folgendes Volumen berechnen:
Ich habe die Funktion:

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

jetzt möchte das volumen des körpers berechnen den die parabel um die z-achse bis zu einer höhe

h

bildet.
kann mir jemand sagen wie ich vorgehen muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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18:03 Uhr, 29.01.2011

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{h}} r^{3} d r d φ

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20:35 Uhr, 29.01.2011

hey!

kannst du mir bitte sagen, wie du dadrauf kommst? und welche fläche du damit berechnest?
ich kenne bis jetzt nur ein verfahren, in den man folgendes benutzt:

λ_{m + n} = \int_{ℝ^{n}} [x \mapsto λ_{n} (A_{x})] d λ_{m}

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22:13 Uhr, 29.01.2011

das ist das volumen unter der funktion

f

.

dazu musst du ja

\int \int x^{2} + y^{2} d x d y

berechnen. frage ist jetzt wie die grenzen zu setzen sind. wenn man sich anguckt, wo die funktion

f (x, y) = h

ist, sieht man dass das fuer einen kreis gilt um den ursprung. das sind deine grenzen fuer das integral. solche kreisformen sind sehr viel einfacher mit polarkoordinaten darzustellen. dazu nehmen wir

r^{2} = x^{2} + y^{2}

und ersetzen das im integral

\int \int r^{2} d x d y

jetzt ersetzen wir das flaechenelement

d x d y

durch das flaechenelement in polarkoordinaten

r d r d φ

\int \int r^{2} r d r d φ = \int \int r^{3} d r d φ

jetzt ist die bestimmung der grenzen sehr einfach da unser radius beim integrieren von 0 bis

x^{2} + y^{2} = r^{2} = h

r = \sqrt{h}

also bis

\sqrt{h}

geht und der winkel einmal komplett im kreis also von 0 bis

2 π

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{h}} r^{3} d r d φ

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13:30 Uhr, 30.01.2011

ok, danke.
ich wollte aber eigentlich den flächeninhalt berechnen, des körpers den die parabel bildet. also den flächeninhalt um die z-achse bis zu einer höhe

h

.
das ist doch genau das andere oder?
wie geht das?

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22:40 Uhr, 30.01.2011

im titel und im ersten posting wolltest du doch noch das volumen...

ansonsten mach dir klar, dass du dieselbe figur erzeugst, wenn du eine parablel um die

y

achse rotieren laesst. leichter wird die berechnung jedoch wenn du dazu die umkehrfunktion bildest und das dann um die

x

achse rotieren laesst...

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