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uneigentliche Integrale/Konvergenz,Divergenz

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: divergenz, Grenzwert, Integral, Konvergenz

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15:01 Uhr, 12.04.2008

Hallo,

ich habe bei meiner 1. Nummer meiner aktuellen Übungsserien Probleme mit ein paar Integralen. Ich soll sagen, ob sie divergent oder konvergent sind und wenn möglich den Grenzwert angeben.

Ich beginne mal mit meiner ersten:

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{x} \sin (x) d x$

Bis jetzt hab ich:

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{x} \sin (x) d x = \int_{- \infty}^{0} e^{x} \sin (x) d x + \int_{0}^{\infty} e^{x} \sin (x) d x$ = $\lim_{r \to \infty} (1 / 2 {* e}^{r} (\sin (r) - \cos (r)))$ .

Da sin(r)-cos(r) auch 0 werden kann und $e^{\infty}$ *0= $\infty$ *0 ein nicht definierter Ausdruck ist, kann ich leider in diesem Fall nichts über den Limes aussagen oder doch?

Das 2. Problem:

$\int_{1}^{\infty} \sin (x) / \sqrt{x} d x = \sqrt{(π / 2)}$ . Das hab ich bereits gefunden. Ich weiß nur leider nicht, wie man darauf kommt.

Kann mir da vielleicht einer helfen?

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gast01 aktiv_icon

19:36 Uhr, 13.04.2008

Hallo,

zu ersterem ist klar, dass

\int_{- \infty}^{0} e^{x} \sin (x) d x

absolut konvergiert. Nun würde ich zeigen, dass das Integral

\int_{0}^{\infty} e^{x} \sin (x) d x

nicht konvergiert. Die Idee wäre zu zeigen:

\underset{R \to \infty}{limsup} \int_{0}^{R} e^{x} \sin (x) d x > 0

(sogar

+ \infty

)

\underset{R \to \infty}{liminf} \int_{0}^{R} e^{x} \sin (x) d x < 0

(sogar

- \infty

)

Je nach Kenntnisstand ist dies mehr oder weniger schwierig. Am einfachsten ist dies wohl durch

\int_{0}^{R} e^{x} \sin (x) d x = ℑ (\int_{0}^{R} e^{x} e^{i x} d x)

einzusehen, wobei

ℑ

den Imaginärteil bezeichnet.

Zum zweiten Integral ist die Konvergenz eigentlich recht leicht einzusehen, z.B. Dirichlet-Kriterium, falls dieses bekannt ist. Es gilt aber anders als von dir geschrieben

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{\sqrt{x}} d x = \sqrt{\frac{π}{2}}

Dies sieht man leicht, wenn man die Gamma-Funktion kennt, denn für diese gilt

e^{- i \frac{π}{2} z} Γ (z) = \int_{0}^{\infty} e^{- i t} t^{z - 1} d t (0 < ℜ z < 1)

wobei

ℜ z

der Realteil von

z

sein soll.
Dann ist mit

z = \frac{1}{2}

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{\sqrt{x}} d x = - ℑ (\int_{0}^{\infty} e^{- i t} t^{- \frac{1}{2}} d t) = - ℑ (e^{- i \frac{π}{4}} Γ (\frac{1}{2})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{π}

wobei

Γ (1 / 2) = \sqrt{π}

verwendet wurde.

gruß

DerGraf aktiv_icon

20:12 Uhr, 13.04.2008

Danke für deine Hilfe. Gerade noch rechtzeitig :)

Wie hatten im letzten Semester leider mitten in der Integralrechnung aufgehört und jetzt gleich mit Metrik angefangen. Ich bin somit leider noch nicht so mit Gammafunktionen und Imaginärteilen bei Integralen vertraut.

Noch mal zur ersten Aufgabe. Ich schätze also nur nach unten und oben ab und ignoriere, dass cos(r)-sin(r) auch 0 werden kann?

gast01 aktiv_icon

20:27 Uhr, 13.04.2008

Zum ersten. Vielleicht geht's so. Setze für

n = 0, 1, 2 . .

a_{n} = \int_{n π}^{(n + 1) π} e^{x} \sin x d x

Annahme es existiert

\int_{0}^{\infty} e^{x} \sin x d x

, dann ist

\int_{0}^{\infty} e^{x} \sin x d x = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

Zeige nun, dass die Reihe nicht konvergieren kann.

DerGraf aktiv_icon

20:54 Uhr, 13.04.2008

Und nochmal zum 2. Das Ergebnis $\sqrt{(π / 2)}$ stammt aus dem Bronstein. Bist du dir mit deiner Lösung sicher?

gast01 aktiv_icon

17:14 Uhr, 14.04.2008

hi,

ich hatte oben noch zwei Vorzeichenfehler drin, die haben aber am Ergebnis nichts geändert. Ich kenn den Bronstein nicht, wie wird's denn da bewiesen? Momentan bin ich noch von meinem Ergebnis überzeugt. Wenn in meiner Rechnung ein Fehler ist, würde es mich auch interessieren.

Nachtrag: hab nun nochmal in die Literatur gespickt, und dort mein Ergebnis bestätigt. Dies lässt sich auch aus dem Fresnel Integral

\int_{0}^{\infty} {\sin t}^{2} d t = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}}

folgern. Wird wohl ein "Druckfehler" im Bronstein sein. Anstelle von

\int_{1}^{\infty}

sollte dort wohl auch

\int_{0}^{\infty}

stehn (oder hast du es falsch abgetippt).

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